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0 · Vorspiel: Nimm eine Zahl
Nimm eine Zahl. Irgendeine. Nimm zum Beispiel die 7.
Mit dieser Zahl spielst du jetzt ein kleines Spiel. Es hat nur zwei Regeln. Ist die Zahl gerade, halbiere sie. Ist sie ungerade, nimm das Dreifache und zähle eins dazu. Mehr passiert nicht. Kein Würfel, kein Zufall, keine verdeckten Karten — zwei Regeln, mehr nicht. Du wendest sie auf die Zahl an, dann auf das Ergebnis, dann wieder auf das Ergebnis des Ergebnisses — immer so weiter.
7 ist ungerade. Also: 3 · 7 + 1 = 22. 22 ist gerade, die Hälfte ist 11. 11 ist ungerade: 34. Weiter geht es mit 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2 — und dann: 1. Zwischendurch klettert die Bahn auf 52, ihren höchsten Punkt, bevor es bergab geht. Sechzehn Schritte, und die Reise ist zu Ende.
Doch bei der 1 geht es weiter. 1 ist ungerade, also 3 · 1 + 1 = 4. Aus 4 wird 2, aus 2 wird 1 — und von vorne: 1 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 … Drei Schritte, und du stehst wieder am Anfang. Die Reise endet nicht. Sie mündet in diesen winzigen Kreis und bleibt dort für immer.
Mitten in der Reise der 7 lag die 13. Kein Zauber: Die Regel kennt nur die jeweils aktuelle Zahl. Wer bei 13 ankommt, reist ab jetzt genau so weiter, als wäre die Reise bei 13 gestartet. Von der 13 bis zur 1 sind es deshalb nur noch neun Schritte.
Manche Zahlen haben es überhaupt leicht. Nimm die 16. 16 → 8 → 4 → 2 → 1: viermal halbieren, fertig. Zweierpotenzen sind die Langweiligen unter den Startzahlen — sie rutschen ohne einen einzigen Aufwärtsschritt nach unten.
Bis hierher wirkt das Spiel harmlos: Jede Bahn, die du gesehen hast, findet nach Hause. Und dann nimm die 27.
27 ist ungerade: 82. Dann 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71. Binnen drei Schritten ist die 100 geknackt. Danach läuft die Bahn im Zickzack über ihrem Startwert — mal rauf, mal runter, aber die Ausschläge werden gewaltig. Erst nach 77 Schritten steht sie auf ihrem Gipfel:
27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → … → 9232 → 4616 → … → 1
- Aus der zweistelligen 27 ist eine vierstellige Zahl geworden, mehr als das Dreihundertfache des Startwerts. Zum Vergleich: Die Bahn der 7 kam nie über 52 hinaus. Und dann fällt die 27. 4616, 2308, 1154, immer weiter hinunter, bis sie nach insgesamt 111 Schritten bei 1 landet und im vertrauten Kreis verschwindet. Wie viele Schritte eine Zahl bis zur 1 braucht, nennen Mathematiker ihre Gesamtstoppzeit. Für die 27 gilt τ(27) = 111 — τ ist der griechische Buchstabe Tau.
Die 27 ist berühmt geworden, weil sie zeigt, wie täuschend harmlos eine simple Regel aussehen kann. Die 16 braucht vier Schritte, die 13 neun, die 7 sechzehn — die 27 braucht 111. Dieselbe Regel, zwei Zeilen lang, und die Reisedauern springen wild umher. Die Regel ist kinderleicht. Das Verhalten der Zahlen ist es nicht.
Diese Bahnen haben einen Spitznamen. Wie ein Hagelkorn, das in der Wolke hochgewirbelt wird: Es steigt, fällt ein Stück herab, wird erneut emporgereißt, steigt wieder — bis es schließlich zu Boden fällt. Auf Englisch heißen diese Zahlen deshalb hailstone numbers — Hagelkorn-Zahlen; auch Fachleute sagen so. Das ist ein Bild, kein Beweis. Aber ein Bild, das genau passt.
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Diese Rechnung kann fesseln. Der Webcomic xkcd hat ihr ein Denkmal gesetzt — Nummer 710, von Randall Munroe:
„…you repeat this procedure long enough, eventually your friends will stop calling to see if you want to hang out.“ — „…wenn du diese Vorschrift lange genug wiederholst, hören deine Freunde irgendwann auf anzurufen, ob du mitkommen willst.“
— xkcd Nr. 710 (Randall Munroe)
Wer einmal angefangen hat, will die nächste Zahl wissen. Und dann die nächste.
Was du eben gerechnet hast, ist die ganze Vermutung. Nimm eine Zahl ab 1: 1, 2, 3, 4, 5 … Gerade: halbiere. Ungerade: verdreifache und zähle eins dazu — Mathematiker kürzen das zu „3n+1“, wobei n für die aktuelle Zahl steht. Kein Taschenspielertrick, keine versteckte Zusatzbedingung. Und dann, sagt die Vermutung, landest du irgendwann bei 1 und drehst deine Runden. Bei jeder Startzahl. Nicht nur bei 7 und 27. Vielleicht rechnest du eine Weile mit kleineren Zahlen und denkst: klar, logisch. Viele Bahnen fallen zügig, die meisten landen bald im Kreis.
Diese Behauptung steht seit 1937 im Raum. Fast neun Jahrzehnte haben Mathematiker sich daran versucht, mit allen Werkzeugen, die das Fach bereithält. Sie ist unbewiesen. Niemand hat je eine Zahl gefunden, die sich weigert, nach Hause zu kommen. Und niemand kann ausschließen, dass es sie doch gibt.
Nimm eine Zahl. Irgendeine. Das ist die ganze Vermutung — der Rest des Buchs erklärt, warum niemand weiß, ob sie wahr ist.