collatz/01-viele-namen.md

1 · Ein Problem, viele Namen

„Wer hat es erfunden?" ist bei den meisten Erfindungen eine Verwaltungsfrage. Es gibt ein Datum, einen Namen, oft ein Patent. Beim 3n+1-Problem ist das anders. Die Regel kennst du aus dem Vorspiel: Nimm eine Zahl. Ist sie gerade, halbiere sie. Ist sie ungerade, verdreifache sie und addiere eins. Wiederhole das, immer wieder. Die offene Frage dahinter heißt Collatz-Vermutung: Landet jede Bahn irgendwann bei 1?

Wer diese Frage zuerst gestellt hat, lässt sich überraschend schwer sagen. Das ist keine Pedanterie der Historiker. Es liegt daran, wie das Problem in die Welt kam: nicht in einer Zeitschrift, sondern von Mensch zu Mensch. Und diese Art zu reisen erklärt auch, warum dasselbe Problem bis heute unter erstaunlich vielen Namen läuft.

Ein Notizbuch vom 1. Juli 1932

Am Anfang steht Lothar Collatz mit einer Sichtweise, die für ihn typisch werden sollte: Er schaute sich Rechenvorschriften über natürliche Zahlen als Bilder an. Zahlen wurden zu Punkten, Rechenschritte zu Pfeilen, das Ganze zu einem Graph — einem Netzwerk aus Punkten und Verbindungen. Collatz hatte es auf Iterationen abgesehen — Rechenvorschriften, deren Ergebnis jeweils der Ausgangspunkt des nächsten Schritts ist. Im Notizbuch vom 1. Juli 1932 notierte er ein solches Problem: eine Permutation der natürlichen Zahlen, erzeugt durch eine Iteration — eine Anordnung, in der jede Zahl genau einmal vorkommt. Er fragte nach ihrer Zyklenstruktur: Welche geschlossenen Kreise bildet die Anordnung? Speziell: Ist der Zyklus, der die 8 enthält, endlich oder unendlich, das heißt, bleiben die Zahlen dabei beschränkt? (Lagarias 1985)

Das ist nicht das 3n+1-Problem. Aber der Eintrag zeigt, wofür Collatz schon 1932 ein Auge hatte: nicht für die einzelne Rechnung, sondern für das Langzeitverhalten der ganzen Bahn. Diese graphische Sicht ist der rote Faden, der von 1932 zum späteren 3n+1-Problem führt.

Hamburg, 1937

Fünf Jahre später formuliert Collatz — er arbeitet inzwischen in Hamburg, das ist seine eigene spätere Erinnerung — die Regel, um die es in diesem Buch geht. Er versucht, die Frage zu beantworten. Es gelingt ihm nicht. Und dann tut er etwas, das die gesamte folgende Geschichte erklärt: Er veröffentlicht die Vermutung nicht. Collatz schrieb später selbst: „Since I could not solve the [3n+1] problem, I did not publish the conjecture" — „Da ich das 3n+1-Problem nicht lösen konnte, veröffentlichte ich die Vermutung nicht" (zitiert nach Opfer 2011).

Veröffentlichen ist nicht dasselbe wie verschweigen. Collatz gab seine Iterationsaufgaben auf Vortragsreisen weiter; 1950 zirkulierte er sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge, Massachusetts (Lagarias 1985). Dort, wo Mathematiker aus aller Welt zusammenkamen, begann die Wanderung.

Das Problem wandert

In den 1950er-Jahren trug Helmut Hasse es zwischen Hamburg und den USA hin und her. Bei einem Besuch an der Syracuse University im US-Bundesstaat New York bekam es einen Namen, der bis heute gelegentlich auftaucht: das Syracuse-Problem. Stanisław Ulam gab es in Los Alamos weiter und darüber hinaus. Um 1960 trug Shizuo Kakutani es in die amerikanischen Universitäten — und was dann geschah, hat Kakutani selbst beschrieben:

„For about a month everybody at Yale worked on it, with no result. A similar phenomenon happened when I mentioned it at the University of Chicago. A joke was made that this problem was part of a conspiracy to slow down mathematical research in the U.S."

— Shizuo Kakutani, zitiert nach Lagarias (1985)

Auf Deutsch: Etwa einen Monat lang arbeitete in Yale jeder daran — ohne Ergebnis. In Chicago dasselbe. Und es wurde gescherzt, das Problem sei Teil einer Verschwörung, um die mathematische Forschung in den USA zu verlangsamen.

Eine unveröffentlichte Frage, die einen Monat lang eine ganze Fakultät beschäftigt: Das erklärt, warum viele später dachten, das Problem habe mehrere Väter. Und tatsächlich tauchte die Regel auch unabhängig auf — so die Überlieferung, bei Thwaites. Er setzte 1000 Pfund für eine Lösung aus; die Summe steht gedruckt bei Lagarias (1985), überliefert als Anekdote, nicht als dokumentierter Wettbewerb.

Zwei Seiten, 17. September 1980

Kann man einer Geschichte aus Erinnerungen trauen? Ein Dokument hilft weiter. Am 17. September 1980 schrieb Collatz einen Brief an Mike Mays, zwei Seiten lang. Darin beansprucht er, das Problem als Erster bearbeitet zu haben. Beide Seiten sind abgebildet in der CECM-Ausgabe von Lagarias' Übersichtsarbeit von 1985, mit freundlicher Genehmigung von Mays; das Datum ist dokumentiert bei Lagarias (2010).

Ein Papier von 1937 existiert nicht. Was es stattdessen gibt, ist diese Kette: das Notizbuch von 1932, der Brief von 1980 — und dazwischen die Spuren einer Weitergabe, die sich von Hamburg über Syracuse und Los Alamos bis Yale verfolgen lässt. Für eine Ursprungsgeschichte ist das wenig Papier. Es reicht.

Ein Gerücht mit Preisschild

So ganz ohne Papier konnte ein Problem nicht für immer ein Gerücht bleiben. 1970 erzählte Coxeter es in einem Vortrag — und nannte es beim Namen, den es bis dahin hatte: „mathematical gossip", ein Gerücht, das in der Fachwelt von Mund zu Mund geht (Coxeter 1971). Für eine Lösung setzte er 50 Dollar aus. Die gedruckte Fassung dieses Vortrags gilt nach Lagarias (2010) als die früheste veröffentlichte Arbeit, die das 3x+1-Problem ausdrücklich formuliert. Das Problem war also älter als seine erste Publikation — um mehr als drei Jahrzehnte, in denen Collatz geschwiegen hatte.

Paul Erdős setzte 500 Dollar aus — ebenfalls eine der überlieferten Summen, gedruckt bei Lagarias (1985). Seine berühmte Einschätzung stammt nicht aus einem Papier, sondern — wie Lagarias (2010) vermerkt — aus einem Gespräch: „Mathematics is not yet ready for such problems" — die Mathematik sei für solche Probleme noch nicht reif (zitiert nach Lagarias 1985).

Zwei Summen, zwei Gesten aus Vortrag und Gespräch. Sie sind keine Forschungsförderung. Sie sind eine Einschätzung: leicht zu verstehen, schwer anzugreifen.

Scientific American, Juni 1972

Der Moment, in dem das Problem öffentlich wurde, hat eine Ausgabe: Scientific American, Juni 1972. In seiner Kolumne „Mathematical Games" stellte Martin Gardner das 3n+1-Problem einem Massenpublikum von Laien vor (Gardner 1972). Lagarias (2010) resümiert, die Kolumne habe dem Problem „wide publicity" verschafft — breite Bekanntheit. Bis dahin war die Frage in Hörsälen und Instituten gewandert; mit Gardners Kolumne gehörte sie jedem, der eine Zahl nehmen und einen Stift zücken konnte.

Viele Namen, eine Regel

In der Fachliteratur läuft das Problem heute meist unter dem Namen 3x+1-Problem. Daneben finden sich: Collatz-Problem, Kakutanis Problem, Ulams Problem, Syracuse-Problem, Hasses Algorithmus, Thwaites-Vermutung (Lagarias 1985). Und als vielleicht anschaulichsten Namen das Hagelkorn-Problem (englisch hailstone problem) — weil die Bahnen aufsteigen und fallen wie Hagelkörner in einer Wolke.

Man kann sich das Problem wie eine Wanderlegende vorstellen: eine Geschichte, die von Ort zu Ort getragen wird, überall auf Anhieb verstanden wird und sich unterwegs neue Namen zulegt. Legenden verändern auf der Wanderung oft ihren Inhalt; dieses Problem hat seine Regel nie verändert. Mehr als drei Jahrzehnte lang lebte es in Gesprächen, auf Reisen, in Vorträgen und Briefen — nicht in Zeitschriften.

{width=90%}

Wer hat es erfunden? Wahrscheinlich mehr als einer. Die Regel ist so kurz und so natürlich, dass sie sich mehrfach finden ließ. Collatz bleibt der plausibelste Ursprung: das Notizbuch von 1932 mit derselben Denkweise, die Formulierung in Hamburg 1937 nach eigener Erinnerung, der Prioritätsanspruch von 1980. Die Geschichte schreibt sich nicht aus diesem Ursprung allein. Sie schreibt sich aus der Wanderung: aus den Reisen Hasses, aus dem fruchtlosen Monat in Yale, aus Gardners Kolumne. Die Namensvielfalt ist das Protokoll dieser Wanderung — und damit selbst die Geschichte.