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2 · Die Regel ohne Formelpanzer
Was heißt „immer bei 1 landen" genau? Die Vorschrift passt auf einen Zettel.
Die Regel, Schritt für Schritt
Nimm die 7 und rechne einfach mit:
7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Passiert sind zweierlei Dinge — nicht im Takt gerade-ungerade-gerade-ungerade, sondern je nachdem, ob die aktuelle Zahl gerade oder ungerade ist. Gerade Zahlen wurden halbiert: aus 22 wurde 11, aus 34 wurde 17. Manchmal folgen mehrere Halbierungen hintereinander: 52 → 26, 40 → 20 → 10, 16 → 8 → 4 → 2. Ungerade Zahlen wurden mit 3 multipliziert, und dann kam 1 dazu: aus 7 wurde 3 · 7 + 1 = 22, aus 11 wurde 3 · 11 + 1 = 34. Mehr ist es nicht. Die ganze Vorschrift:
n gerade: n → n/2
n ungerade: n → 3n + 1
Gerade Zahl: halbieren. Ungerade Zahl: dreimal nehmen, eins dazuzählen. Ende der Regel.
Und wenn die Bahn bei 1 ankommt, hört sie trotzdem nicht auf. 1 ist ungerade, also 3 · 1 + 1 = 4; halbieren gibt 2; halbieren gibt 1. Der kleine Kreis 1 → 4 → 2 → 1 dreht sich ab jetzt für immer. Er heißt der triviale Kreis — trivial, weil ihn zwangsläufig jede Zahl durchläuft, die überhaupt 1 erreicht.
Die komplette Zahlenfolge ab einem Startwert heißt ihre Bahn; Fachleute sagen auch Orbit. Damit lässt sich präzise sagen, was die Vermutung behauptet: Egal, mit welcher positiven ganzen Zahl du beginnst — ihre Bahn erreicht irgendwann den Wert 1. Danach dreht sie den trivialen Kreis. Das ist die ganze Collatz-Vermutung. Und sie ist seit 1937 unbewiesen.
Der Trick: zwei Schritte in einem
Schau noch einmal auf die Bahn der 7. Auf jede ungerade Zahl folgt sofort eine gerade: nach der 7 kommt die 22, nach der 11 die 34. Das ist kein Zufall. Ist n ungerade, so ist 3n ungerade, und 3n + 1 ist gerade. Der Halbschritt danach ist erzwungen — die Regel schreibt ihn selbst vor.
Das legt eine Abkürzung nahe: nimm den erzwungenen Halbschritt gleich mit. Aus „erst 3n + 1, dann halbieren" wird ein einziger Schritt:
n gerade: n → n/2
n ungerade: n → (3n + 1)/2
Diese Kurzform heißt Shortcut-Map T — shortcut, die Abkürzung. Sie ist keine zweite Vermutung, sondern dieselbe in schneller Zählung. Bei der 7 sieht man den Unterschied direkt:
7 → 11 → 17 → 26 → 13 → 20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1
T lässt die geraden Zwischenwerte 22, 34 und 52 aus — dieselbe Reise, weniger Halte.
Zwei Uhren, eine Bahn. Damit die Zählung nicht verrutscht, gelten in diesem Buch fünf Zeichen. Das Mini-Beispiel bleibt die 7:
| Zeichen | Bedeutung | An der 7 |
|---|---|---|
| C | klassische Regel: gerade → n/2, ungerade → 3n+1 | 7 → 22 → 11 |
| T | Shortcut: gerade → n/2, ungerade → (3n+1)/2 | 7 → 11 |
| σ | Stoppzeit (stopping time): Schritte bis zum ersten Wert unter dem Start | σ_C(7) = 11 (landet bei 5) |
| τ | Gesamtstoppzeit: Schritte bis 1 | τ_C(7) = 16; τ_T(7) = 11 |
| M | Gipfel der Bahn | M_C(7) = 52 |
Achtung an der 7: σ_C(7) und τ_T(7) sind beide 11 — zwei Uhren, derselbe Stand. Deshalb trägt jede Schritt- oder Gipfelzahl in diesem Buch das Label C oder T, sobald gezählt wird. Ob jede Bahn bei 1 landet, hängt von der Uhr nicht ab — dieselbe offene Frage, in beiden unbewiesen.
Die meiste Facharbeit rechnet mit T. Bei der 27 sieht man, warum die Uhr mitgeschrieben werden muss.
Eine große Reise: die 27
Kleine Startzahlen können große Reisen machen. Vielleicht bist du der 27 in Kapitel 0 schon begegnet; hier kommt sie wieder, diesmal mit beiden Uhren:
27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → … → 9232 → 4616 → … → 1
In C-Zählung braucht die Bahn τ_C(27) = 111 Schritte bis zur 1 und steigt unterwegs auf M_C(27) = 9232 — rund das 342-Fache des Startwerts. In T-Zählung sind es τ_T(27) = 70 und M_T(27) = 4616. Dieselbe Reise; T lässt die erzwungenen Halbierungen weg, deshalb ist τ_C größer. Die Stoppzeit σ aus der Tabelle zählt etwas anderes — nur bis zum ersten Wert unterhalb der Startzahl. Kapitel 5 braucht σ als Werkzeug; hier zählt die Gesamtstoppzeit τ.
Zum Vergleich: 2 hoch 10, also 1024, braucht genau 10 Schritte — lauter glatte Halbierungen, in C und T gleich. Die meisten Bahnen fallen zügig — aber Ausreißer wie die 27 zeigen, wie unregelmäßig die Reise wird. Und „die meisten" ist nicht „alle": genau da sitzt die offene Frage.
Rekordhalter
Die Gesamtstoppzeiten verteilen sich wie eine Landschaft: die meisten Zahlen kommen zügig heim, wenige brauchen extrem lange. Die Rekordhalter sind die Wegmarken. Eine Startzahl hält den Rekord, wenn keine kleinere Zahl ein größeres τ_C hat. Die 27 hält so einen: Keine Zahl unter ihr hat ein größeres τ_C als 111. Später lösen größere Zahlen ab. Unter den frühen Rekordhaltern — alle in C-Zählung, wie τ_C(27) = 111:
| Startzahl | τ_C |
|---|---|
| 27 | 111 |
| 871 | 178 |
| 6171 | 261 |
| 77031 | 350 |
| 837799 | 524 |
Diese Werte stehen längst nachgeprüft in der Rekord-Datenbank von Eric Roosendaal. Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) übernimmt die Rekordlisten von dort. Die heutigen Rekordhalter sind astronomisch größer.
Es gibt auch Höhenrekorde: Path-Records (path, der Weg). Eine Zahl hält einen, wenn ihre Bahn höher hinauskommt als die jeder kleineren Startzahl. Hier ist die 27 ebenfalls vorn: M_C(27) = 9232, und keine kleinere Startzahl steigt höher. Solche Listen sind mehr als Kuriositätensammlung — sie zeigen, wo die Landschaft rau wird.
Der Rechenstand
Wie weit ist die Landschaft überhaupt vermessen? Das rekordhaltende Projekt ist die verteilte Rechnerei des Informatikers David Barina in Brünn — seit 2017 mit Freiwilligen-Rechnern unterwegs. Das Ergebnis: Jede Startzahl bis 2^71^ — zwei hoch 71, rund 2,36 × 10^21^, eine Zahl mit 22 Stellen — landet bei 1 (Barina, 2025/26). Beeindruckend — und kein Beweis: Geprüft ist ein Anfangsstück der Zahlengeraden; die Vermutung redet über alle positiven Zahlen. Kein Rechenberg, so hoch es auch wächst, hakt das Unendliche ab. Kapitel 6 schaut genauer hin.
Jenseits der Null
Die Regel fragt nicht nach dem Vorzeichen. Was passiert also auf der anderen Seite der Null? Probier die −5 aus: −5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5. Stopp. Die Bahn kreist im Kreis und erreicht die 1 nie.
Auf den negativen Zahlen sind neben dem vertrauten Kreis um die 1 drei weitere Kreise bekannt:
−1 → −2 → −1
−5 → −14 → −7 → −20 → −10 → −5
−17 → −50 → −25 → −74 → … → −34 → −17 (18 Zahlen)
Der dritte ist der größte: 18 Zahlen, von −17 rund bis −34 und wieder zurück. Die Standard-Vermutung für alle ganzen Zahlen lautet: Diese drei Kreise sind die einzigen nichttrivialen. Auch sie ist unbewiesen.
Für die positive Seite ist das die Botschaft: „Immer bei 1 landen" ist keine Selbstverständlichkeit. Dieselbe einfache Vorschrift, gespiegelt unter die Null — und schon gibt es Zahlen, die für immer kreisen, fern von der 1. Warum es bei den positiven Zahlen anders laufen soll, ist genau die offene Frage.
Der Baum, der rückwärts wächst
Bisher laufen wir immer vorwärts: Startwert, Schritte, 1. Drehen wir es um und fragen rückwärts: Wer landet bei 1?
Rückwärts heißt: von der 1 zur 2 zur 4 zur 8 — immer das Doppelte. Jede Verdopplung kommt vorwärts per Halbierung zur 1 zurück. Und manchmal spendiert die Regel einen zweiten Ast: Aus der ungeraden Zahl 5 wird 3 · 5 + 1 = 16 — die 5 hängt rückwärts an der 16. Aus 3 wird 3 · 3 + 1 = 10. Zweig für Zweig:
1
└─ 2
└─ 4
└─ 8
└─ 16
├─ 32
└─ 5
└─ 10
├─ 20
└─ 3
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Jede Zahl hat ihr Doppeltes als Kind; die zweite Zahl kommt nur manchmal dazu — bei 16 die 5, bei 10 die 3. Der zweite Ast hängt an einer Zahl m genau dann, wenn m bei Division durch 6 den Rest 4 lässt — geschrieben m ≡ 4 (mod 6). Das ist dasselbe wie: (m − 1)/3 ist eine ungerade natürliche Zahl. Bei 16: 16 = 2 · 6 + 4, und (16 − 1)/3 = 5. Bei 8 geht der zweite Ast nicht: 8 = 6 + 2.
Die Wurzel ist der triviale Kreis 1 → 4 → 2 → 1; von dort wächst der Baum rückwärts in die Höhe. Weiter und weiter gezogen, sieht das Gebilde aus wie eine Koralle: ein Stamm, der sich teilt, wieder teilt, feine Äste, dichte Büschel. Die Koralle ist nur ein Bild. Die Behauptung dahinter ist exakt: Die Collatz-Vermutung sagt, dass dieser rückwärts gewachsene Baum jede positive ganze Zahl enthält. Nicht die 7 fehlt, nicht die 27, keine einzige. Wer eine Zahl fände, die im Baum fehlt, hätte den Gegenbeweis in der Hand.
Diese Rückwärts-Sicht ist kein Schmuck: Dieselbe Abstiegs-Struktur nutzen später die großen Rechenprojekte, um nicht blind vorwärtsrechnen zu müssen.
Beobachtung (Computer, kein Beweis). Jede bislang geprüfte Startzahl landet bei 1 — systematisch nachgeprüft bis 2^71^ (Barina, 2025/26) — beeindruckend und kein Beweis. Negative Startzahlen landen gerade nicht bei 1; dort sind drei Kreise bekannt.
Definition. Bahn (Orbit): die ganze Zahlenfolge ab einer Startzahl. Die fünf Zeichen C, T, σ, τ, M stehen in der Tabelle oben; 111 ist τ_C(27), niemals die Stoppzeit σ.
Offen bleibt. Ob jede positive Zahl bei 1 landet — unbewiesen seit 1937. Ob die drei negativen Kreise die einzigen nichttrivialen sind — ebenfalls unbewiesen.