collatz/04-drei-arten-falsch-zu-sein.md

4 · Drei Arten, falsch zu sein

Kapitel 3 hat den Würfel geworfen: Im Mittel schrumpfen die Zahlen, der typische Faktor liegt bei rund 0,866 pro Schritt. Tröstlich. Aber die Collatz-Vermutung verlangt mehr als „im Mittel“. Sie sagt: Jede Startzahl landet bei 1 — jede einzelne. Und für ein „Nein“ genügt eine einzige widerspenstige Zahl.

Wohin sollte diese Zahl gehen? Drei Schattenbilder zeichnen sich ab, und dieses Kapitel hängt sie als Triptychon an die Wand: erstens ein anderer endlicher Kreis, zweitens eine Bahn, die für immer wächst, drittens etwas Pathologisches dazwischen. Die drei Bilder sortieren die Debatte.

{width=90%}

Der Gegenpol vorweg, wovon sich die Gespenster abheben: die Runde, an die alle glauben. 1 → 4 → 2 → 1: ungerade, also 3n+1; gerade, also halbiert; wieder von vorn. Diese kleine Runde ist der einzige Kreis, den je jemand in der positiven Zahlenwelt gefunden hat. Weitere Kreise heißen im Fachjargon nichttrivial: andere als dieser.

Erstes Gespenst: Ein anderer Kreis

Das erste Gespenst ist ein anderer endlicher Kreis: eine Runde aus ganz gewöhnlichen Zahlen, in der jede auf die nächste führt und die letzte zurück zur ersten. Wer dort einsteigt, dreht für immer seine Runden. Er kommt an vielen Zahlen vorbei — nur nie bei 1, 4 oder 2.

Ist so etwas je gesehen worden? In der positiven Zahlenwelt: nein. Auf der anderen Seite der Null: ja. Wendet man dieselbe Regel auf negative Zahlen an, kennt man drei weitere Kreise: {−1, −2}, {−5, −14, −7, −20, −10} und einen mit 18 Plätzen, der bei −17 einsteigt. (Für negative Zahlen gelesen ist dieselbe Regel das sogenannte 3x−1-Problem für positive.) Selbst die Vermutung, dass es dort bei diesen dreien bleibt, ist unbewiesen. Der Kreis-Typ ist also real — er zeigt sich nur in der Nachbarwohnung.

In unserer Hälfte der Zahlenlinie hat die Mathematik ihn weit zurückgedrängt. Zuerst die Definition: Ein m-Zyklus ist eine geschlossene Bahn mit m Tälern. Ein Tal ist eine Stelle, an der die Bahn nach einem Abstieg wieder nach oben knickt — Fachwort: lokales Minimum. Der triviale Kreis hat genau eines.

Dann das erste Werkzeug, die Theorie. Ein Kreis erzwingt strenge Buchhaltung: Seine Verdreifachungen und seine Halbierungen müssen sich über die Runde exakt ausgleichen, sonst käme die Bahn nie zurück. Aufgeschrieben ist das eine Balance zwischen Zweier- und Dreierpotenzen. Die Baker-Theorie — ein schweres Geschütz der Zahlentheorie, das abschätzt, wie nahe sich solche Potenzen kommen können — liefert die Antwort: nicht nahe genug. So bewies Steiner 1977, dass es keinen nichttrivialen Kreis mit genau einem Tal gibt. Simons und de Weger drückten die Schranke 2005 auf 68 Täler, Hercher 2023 auf 91. Kein nichttrivialer m-Zyklus mit m ≤ 91 existiert — also keiner mit höchstens 91 Tälern. Dass dieser Weg von 1 über 2 und 68 nach 91 so mühsam war, hat einen Grund: Je mehr Täler man ausschließen will, desto schwächer werden die Abschätzungen.

Das zweite Werkzeug ist die Rechnung. Das verteilte Projekt von David Barina erreichte 2025 die Verifikationsgrenze 2^71^: Alle Startwerte bis dorthin — rund 2,36 Trilliarden, eine Zahl mit 22 Stellen — landen bei 1. Auch das ist Beobachtung, kein Beweis. Kombiniert mit dem Satz von Hercher ergibt sich trotzdem ein präziser Steckbrief: Jeder nichttriviale Kreis müsste mehr als 91 Täler haben — und sein kleinster Wert läge über 2^71^, tief in einem Gebiet, in das noch kein Rechner vorgedrungen ist. Wenn es ihn gibt, dann absurd weit draußen.

Zweites Gespenst: Die Bahn, die für immer wächst

Das zweite Gespenst braucht keinen Umweg: eine Bahn, die nie zurückkommt. Sie kreist nicht, sie kehrt nicht um — sie wächst über jede Grenze. Fachwort: Divergenz.

Keine solche Bahn ist bekannt. Keine ist ausgeschlossen. Und genau hier liegt der Unterschied zum ersten Gespenst. Für Kreise gibt es Werkzeuge: Die Baker-Theorie braucht eine Gleichung, und ein Kreis ist eine Gleichung. Eine endlose Bahn bietet keinen solchen Ansatz — kein geschlossenes System, kein exakter Ausgleich, auf den die Schranken anspringen könnten. Kein bekannter Satz schließt sie aus.

Auch die Rechnung hilft nur am Rand. Weil alle Startwerte bis 2^71^ geprüft sind, müsste eine immer wachsende Bahn oberhalb der 22. Stelle beginnen. Mehr Rechenleistung verschiebt die Grenze, sie beantwortet die Frage nicht: Die Vermutung spricht über alle Zahlen, nicht über die ersten Trilliarden.

Das Würfel-Bild aus Kapitel 3 hält das zweite Gespenst für Unsinn: Im Mittel schrumpfen die Zahlen. Aber das Bild ist eine Heuristik — plausible Statistik, keine Beweiskraft. Und die starken Statistik-Sätze der Fachwelt (Terras 1976; Tao 2022 — das Buch kommt zu ihnen zurück) erfassen immer nur fast alle Bahnen. „Fast alle“ heißt: bis auf eine Ausnahmemenge — dünn, aber niemand hat sie als leer nachgewiesen. Eine Ausnahmebahn, die für immer steigt, könnte genau dort wohnen. Darum ist die Divergenz das hartnäckigere Gespenst: kein Werkzeug, kein Ende der Rechnung — nur ein Bild, das sie für unwahrscheinlich erklärt.

Drittes Gespenst: Etwas dazwischen

Das dritte Bild ist das unruhigste: eine Bahn, die weder Kreis noch Abschied ist. Sie stürmt in Rekordhöhen, stürzt in Tiefen, die niemand kommen sah — und wiederholt das Spiel endlos. Keine geschlossene Runde, kein endgültiges Verschwinden.

Ist das logisch denkbar? Bei ganzen Zahlen lohnt der genaue Blick. Eine Bahn, die dieselbe Zahl zweimal besucht, hat damit längst einen Kreis gefunden — ohne Wiederholung gibt es kein Zurück. Der Wanderer darf also nichts wiederholen. Aber unter jeder festen Marke liegen nur endlich viele Zahlen. Wer nichts wiederholt, kann unter eine feste Marke daher nur endlich oft geraten. Streng genommen wächst so eine Bahn über jede Grenze: Irgendwann bleibt sie für immer über einer Million, später für immer über einer Billion, und so weiter. Das „Dazwischen“ ist also kein drittes Schicksal — es ist die Flucht in ihrem rätselhaftesten Gewand: kein geordneter Abschied, sondern endloses Stürmen und Stürzen, bei dem jede Landung auf einer Zahl erfolgt, die noch nie jemand besucht hat.

Ob die Collatz-Regel so einen Charakter überhaupt hervorbringen kann: offen. Erwartet wird er nicht — das Würfel-Bild erst recht nicht. Aber „wird nicht erwartet“ ist keine mathematische Kategorie. Und eine Zumutung bleibt: Wer nur endliche Stücke einer Bahn sieht, kann nie sicher sagen, ob er einen Kreis in ungeheuren Ausmaßen vor sich hat, eine Flucht oder einen Wanderer. Das entscheidet kein Blick — nur ein Beweis.

Das Labor: 5n+1

Die Collatz-Regel ist keine Einzelgängerin. Dreh die Kurbel: Halbiere gerade Zahlen; ersetze ungerade n durch 5n+1. Fertig ist das 5n+1-Problem — ein Schwesterproblem, das sich wie ein Labor zur Collatz-Welt verhält.

Warum das Labor aufschlussreich ist, zeigt die Kurbel-Rechnung. Halbe der Schritte sind reine Halbierungen (Faktor 1/2), halbe sind ungerade Sprünge mit anschließender Halbung (netto Faktor 5/2). Im Wechsel angewandt ergibt das pro Schritt den mittleren Faktor √5/2 ≈ 1,118: Die Bahn wächst im Schnitt. Beim echten Collatz lauten die Faktoren 1/2 und 3/2, der mittlere Faktor ist √3/2 ≈ 0,866 — die Zahl aus Kapitel 3: Sinkflug. Die 3 ist die einzige nichttriviale Kurbel-Einstellung mit erwartetem Sinkflug; weithin wird vermutet, dass genau diese Grenzlage 3n+1 so hartnäckig macht — hart genug, um ungelöst zu bleiben. Auch das ist Heuristik, kein Satz.

Was geschieht im Labor? Beide Gespenster treten auf.

Das erste ist gefasst — buchstäblich. Starte bei 13 und rechne nach:

• 13 → 66 → 33 → 166 → 83 → 416 → 208 → 104 → 52 → 26 → 13
• 17 → 86 → 43 → 216 → 108 → 54 → 27 → 136 → 68 → 34 → 17

Zwei nichttriviale Kreise: geschlossen, ohne jede Berührung mit 1, 4, 2 — und bewiesen durch Nachrechnen. In der Collatz-Welt wäre so ein Fund die Sensation. Im Labor ist er der Normalfall.

Das zweite Gespenst ist sichtbar — und bleibt trotzdem unbewiesen. Startet man bei 7, wächst die Bahn in allen Rechnungen ohne erkennbare Grenze: geglaubte Divergenz. Ein Ende der Kletterei wurde nie gesehen, und bewiesen ist es nicht. So ist das mit diesem Gespenst selbst dort, wo man es vorführen kann: Endliche Ausschnitte beweisen kein Für-immer.

Im Labor kommen beide Arten, falsch zu sein, wirklich vor — der andere Kreis und die immer wachsende Bahn. Nur beim Grenzfall 3n+1 wurde keines von beiden je beobachtet. Dass das mehr als Glück ist, hofft man. Bewiesen hat es niemand.

Beobachtung (Barina, 2025): Alle Startwerte bis 2^71^ ≈ 2,36 × 10^21^ — rund 2,36 Trilliarden, 22 Stellen — landen bei 1. Geprüft, nicht bewiesen.

Theorem (Steiner 1977; Simons und de Weger 2005; Hercher 2023): Einen nichttrivialen Kreis mit höchstens 91 Tälern — lokalen Minima — gibt es nicht.

Offen (Stand 2026): Ob ein Kreis mit mehr als 91 Tälern existiert oder eine Bahn, die über jede Grenze wächst, weiß niemand.

Falls die Collatz-Vermutung falsch ist, dann tief — oberhalb einer Zahl mit 22 Stellen.