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5 · Erste ernsthafte Sätze
Drei Gespenster hängen an der Wand: der andere Kreis, die Bahn, die für immer steigt, das unheimliche Dazwischen. Gefangen hat sie niemand — verbannt auch. Was tat die Mathematik also in den 1970er Jahren? Sie begann, das Land zu vermessen. Nicht erobern: kartieren. Landvermesser ziehen zuerst Linien auf die Karte — zuverlässige Linien — und lassen die Flecken weiß, die sie noch nicht betreten haben. Hier beginnt die Kartierung, nicht die Eroberung.
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Die rote Linie — „im Schnitt“ heißt nicht „jede Zahl“ — setzte die Forschung der 1970er um: Wenn schon kein Satz für alle Zahlen, dann ein Satz für fast alle.
Die Rückkehr der Stoppzeit
Zuerst der Begriff, auf den Kapitel 2 und 3 dich vorbereitet haben. Die Gesamtstoppzeit zählt die Schritte einer Bahn bis zur 1. Die Stoppzeit zählt weniger: nur bis zum ersten Wert, der unter der Startzahl liegt.
Beispiel: die 7. Ihre Bahn lautet 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5. Elf Schritte lang bleibt sie über der 7 — dann erscheint mit der 5 der erste Wert darunter. Die Stoppzeit der 7 ist also elf. Bis zur 1 dauert es länger: 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, zusammen sechzehn Schritte. Beide Zahlen beschreiben dieselbe Bahn, gemessen an unterschiedlichen Marken — und die Stoppzeit ist es, von der der erste große Satz handelt.
Der erste Satz über fast alle
1976 bewies Riho Terras: Fast alle Startzahlen haben eine endliche Stoppzeit — ihre Bahn fällt irgendwann unter den Startwert (Terras 1976). Ein Jahr später folgte dasselbe Ergebnis, unabhängig gewonnen (Everett 1977). Zwei Vermesser, eine Linie.
Das Wort „fast alle“ braucht jetzt seine erste bewiesene Fassung. Gemeint ist: Zählt man die Startzahlen bis zu einer Grenze nach, schrumpft der Anteil der Ausnahmen gegen null, je weiter man die Grenze hinausschiebt. Unter einer Billion fallen fast alle Zahlen irgendwann unter ihren Startwert — „fast“ im Zähl-Sinn: Der Anteil der Renitenzen ist dort verschwindend klein und wird mit jeder höheren Grenze noch kleiner. Dünn heißt aber nicht leer: Die Quadratzahlen sind dünn gesät — bis zu einer Billion liegen eine Million von ihnen — und hören trotzdem nie auf. (Quadratzahlen sind nicht die Renitenzen von Terras' Satz; Zweierpotenzen etwa haben Stoppzeit 1 und fallen sofort.) „Fast alle“ schließt also nicht aus, dass es unendlich viele Ausnahmen gibt. Welches Maß die Fachwelt benutzt — und warum Kapitel 7 später ein anderes braucht, die logarithmische Dichte —, klärt Kapitel 7. Hier reicht die umgangssprachliche Fassung: Der Ausnahmeanteil schrumpft gegen null.
Wie beweist man so etwas? Terras zählte Reste. Schau auf die ersten drei Schritte einer Bahn: Ob sie halbieren oder 3n+1 nehmen, verrät schon der Rest der Startzahl beim Teilen durch 8. Rest 1 — etwa bei 1 oder 9: erst 3n+1, dann halbieren, halbieren (1 → 4 → 2 → 1; 9 → 28 → 14 → 7 — dieselbe Schrittfolge). Rest 3 — etwa bei 3 oder 11: erst 3n+1, dann halbieren, wieder 3n+1 (3 → 10 → 5 → 16). Und so weiter: Der Rest beim Teilen durch zwei hoch k legt die ersten k Schritte fest — bis auf eine Verschiebung, die sich mitrechnen lässt. Terras fragte dann: Wie viele der möglichen Reste lassen überhaupt zu, dass eine Bahn k Schritte lang kein einziges Mal unter den Startwert rutscht? Die Antwort fällt mit jedem größeren k kleiner aus — der Anteil der verdächtigen Reste schrumpft gegen null. Das ist der Satz.
Warum das ein echter Satz ist: kein Rechenbefund über die ersten Trilliarden, sondern ein Beweis über unendlich viele Zahlen zugleich. Das Modell aus Kapitel 3 hatte den Sinkflug erwartet; Terras bewies eine schwächere, aber echte Version davon. Warum es trotzdem kein Vollbeweis ist, liegt auf der Hand. Erstens: Unter den Startwert fallen ist nicht bei 1 ankommen — die Bahn übergibt an eine kleinere Zahl, und was diese tut, bleibt Sache der Vermutung. Zweitens: Die Ausnahmemenge ist dünn, aber nicht als leer bewiesen. Ein Gegenbeispiel hätte dort Platz. Die Karte wurde zuverlässiger — die weißen Flecken blieben.
Die Marke rückt nach unten
1979 schärfte Jean-Paul Allouche dieselbe Zählmethode (Allouche 1979). Fast alle Bahnen tauchen demnach nicht nur unter den Startwert, sondern irgendwann unter eine feste Marke darunter: unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869. Wie so eine Marke aussieht, ist Rechnung: Eine Million hoch 0,869 ist rund 164.000. Eine Marke also, die spürbar unter dem Startwert liegt — und unter die fast alle Bahnen irgendwann fallen. Die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte vom Startwert nach unten.
In den Jahrzehnten danach wurde sie weiter hinabgedrückt — mit derselben Zähltechnik, jedes Mal für fast alle. Kapitel 7 folgt dieser Leiter bis zu ihrem vorläufigen Ende. Und es stößt an dieselbe Grenze wie Terras' Satz: die Ausnahmen.
Die Regel wird zur Familie
Noch ein Ergebnis derselben Dekade — von einer anderen Ecke, über die Verwandten der Regel. Statt nur zwei Fälle (gerade, ungerade) darf man beliebig viele Restfälle definieren, sagen wir beim Teilen durch d, und jedem Restfall eine eigene lineare Vorschrift der Form a·n + b geben. Die 3n+1-Regel ist der kleinste Fall: d = 2.
John Conway bewies 1972: Diese Familie kann rechnen wie ein Computer, und kein Verfahren entscheidet für jede solche Regel, ob alle Bahnen bei 1 landen. Beides trifft die Familie, nicht die einzelne 3n+1-Regel — die Vermutung bleibt unbewiesen. Die Mini-Programmiersprache, in der das steckt, kommt in Kapitel 8 als Werkzeug; was Unentscheidbarkeit für die Vermutung selbst bedeuten würde und was nicht, in Kapitel 12.
Der Chronist und die Warnungen
Wer diese Epoche überblickt hat, ist ein Mann: Jeffrey Lagarias. 1985 stellte er die gesamte Forschungslage in einer Übersichtsarbeit zusammen — bis heute der Standardeinstieg ins Fach (Lagarias 1985). 2010 folgte ein Forschungsband, der den Stand der 2000er Jahre bündelt (Lagarias 2010). Chronist ist vielleicht das richtige Wort: Er hat das Feld nicht nur mitbearbeitet, er hat es kartiert — inklusive seiner Kultur, falsche Beweise hervorzubringen.
Denn zu dieser Forschungslage gehört eine Warnkultur, und sie ist so alt wie die ersten Sätze. Richard Guy pflegte in der American Mathematical Monthly eine Kolumne über ungelöste Probleme; sein Beitrag von 1983 trägt den Titel: „Don't try to solve these problems!“ — Versucht es gar nicht erst, diese Probleme zu lösen (Guy 1983). Darin formulierte er vier 3x+1-artige Probleme, das Original samt dreier Verwandter. Lagarias (2010) zog Bilanz: keines der vier ist gelöst.
Lagarias selbst warnte unverblümt: „This is a really dangerous problem. People become obsessed with it and it really is impossible“ — ein wirklich gefährliches Problem, dem Menschen verfallen, und es ist wirklich unmöglich (Quanta Magazine 2019). Dem Zahlentheoretiker Alex Kontorovich gegenüber fiel die Warnung kürzer aus: „Don't fall into that trap“ — fall nicht in diese Falle (Harper's Magazine 2025). Kontorovich ließ sich nicht warnen; er arbeitete weiter an dem Problem. Auch das gehört zur Karte des Feldes: Die Warnungen sind dokumentiert — und sie werden ignoriert.
Und dann der Preis. Paul Erdős setzte 500 Dollar für eine Lösung aus — eine der überlieferten Summen, gedruckt bei Lagarias (1985). Seine berühmte Einschätzung stammt aus einem Gespräch, nicht aus einem Papier; gedruckt steht sie ebenfalls bei Lagarias (1985), als Gesprächsüberlieferung vermerkt bei Lagarias (2010): „Die Mathematik ist dafür noch nicht reif“ — im Original: „Mathematics is not yet ready for such problems“. Sie liest sich wie ein Kommentar zu genau diesem Kapitel: Die ersten Sätze waren echt, die Zählmethode trug — und das Urteil blieb: noch nicht reif.
Theorem (Terras 1976; Everett 1977). Fast alle Startzahlen haben eine endliche Stoppzeit: Ihre Bahn fällt irgendwann unter den Startwert. „Fast alle“ heißt: Zählt man Startzahlen bis zu einer Grenze nach, schrumpft der Anteil der Ausnahmen gegen null.
Theorem (Allouche 1979). Fast alle Bahnen tauchen sogar unter eine feste Marke unter dem Startwert: unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869.
Theorem (Conway 1972). Verallgemeinerte Collatz-Regeln können jede Rechnung simulieren; ein Verfahren, das für jede Regel der Familie entscheidet, ob alle Bahnen bei 1 landen, existiert nicht. Die Aussage trifft die Familie, nicht die 3n+1-Regel — ausführlich in Kapitel 12.
Die Kartierung hat begonnen — fast die gesamte Zahlenfläche ist als absturzfreudig kartiert, und genau die dünnen Ausnahmen, die die Vermessung übrig ließ, sind der Ort, an dem die offene Frage wohnt. „Fast alle“ ist nicht „alle“, und unter den Startwert fallen ist nicht bei 1 ankommen. Die Vermutung ist unbewiesen geblieben, wie sie war.