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6 · Rechenstand und Rekorde

Kapitel 2 hat ihn nur gestreift, diesen Satz: „geprüft bis 2^71^". Was heißt hier „geprüft"? Wer hat gerechnet, bis wohin? Und was ändert all das Rechnen an der Tatsache, dass die Vermutung unbewiesen ist?

Stell dir ein Fernglas vor. Es zeigt dir einen langen Streifen Küste gestochen scharf: Klippen, Strand, jede einzelne Düne. Aber es zeigt nur den Streifen. Hinter dem Dunst am Horizont könnte Küste sein — du weißt es nicht, weil du nicht hingesehen hast. Der Rechenstand der Collatz-Forschung sieht genau so aus: scharf bis zu einer bestimmten Stelle, Dunst danach.

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Was „geprüft bis 2^71^" bedeutet

Ein Rechenprojekt hat die Vermutung bis zu einer Zahl N geprüft, wenn gezeigt ist: Jede Startzahl bis N landet irgendwann bei 1. Jede — ohne Ausnahme. Systematisch heißt das: jede einzelne Zahl bis zur Grenze wird durchgeprüft, keine Stichprobe. Der Fachbegriff dafür ist Verifikationsgrenze; verifizieren heißt: durch Nachrechnen bestätigen.

Was 2^71^ bedeutet, erschließt sich erst im Kontext. Ausgeschrieben: 2.361.183.241.434.822.606.848 — eine 22-stellige Zahl, rund 2,36 Trilliarden (in Notation: 2,36 × 10^21^, also 2,36 mal eine Eins mit 21 Nullen). Das sind rund sechs Milliarden Mal mehr Startwerte, als es Sekunden seit dem Ende der letzten Eiszeit gibt (sie endete vor etwa 11.700 Jahren).

Wie soll so etwas machbar sein? Mit zwei Tricks, die die Rechenarbeit radikal schrumpfen lassen. Erstens: Man arbeitet sich von 1 aufwärts und rechnet jede Bahn nur so lange, bis sie zum ersten Mal unter ihren Startwert fällt. Ab diesem Moment ist sie erledigt — denn die kleinere Zahl wurde schon geprüft und kommt bei 1 an, also auch die ganze Bahn dahinter. Die Mathematik nennt dieses Domino-Prinzip vollständige Induktion. Zweitens: Zahlen gruppieren sich nach ihrem Rest beim Teilen durch Zweierpotenzen in Klassen, die sich in der Rechnung gleich verhalten. Ganze Klassen erledigen sich mit einem Schlag; übrig bleibt ein immer dünnerer Rest von Kandidaten, die wirklich durchgerechnet werden müssen.

Das Barina-Projekt

Den Rekord hält seit 2017 das verteilte Projekt von David Barina an der Technischen Universität Brünn. Verteilt heißt: Der zu prüfende Bereich wird in Teilaufgaben geschnitten, die an freiwillige Rechner in aller Welt gehen. Jeder bearbeitet sein Stück; zusammen decken sie den Bereich lückenlos ab.

Die Meilensteine:

Jahr	Geprüft bis	Größe des geprüften Bereichs
2020	2^68^	rund 295 Trillionen
2025/26	2^71^	rund 2,36 Trilliarden

Die Grenze 2^68^ erschien 2020 (Barina 2020). Fünf Jahre Rechenarbeit für einen Sprung um den Faktor 8 — 2^71^ ist der Stand 2025/26 (Barina 2025). So steil ist das Gelände: Wer die Grenze um einen Exponenten hebt, muss genauso viele neue Zahlen prüfen, wie schon unter der alten Grenze liegen.

Hinter dem Ergebnis steckt die Technik aus dem vorigen Abschnitt, konsequent ausgereizt: Sieb-Strukturen für die Restklassen, dichte Bitvektoren, in denen jede Zahl nur ein Bit belegt, Grafikkarten und Spezialbefehle, die mit einem Takt viele Zahlen gleichzeitig bearbeiten. Zusammen ergibt das Tempogewinne um Größenordnungen gegenüber dem naiven Durchrechnen jeder Bahn bis zur 1 (Barina 2025).

Der Rekord wechselte vorher mehrfach die Hände: Superrechner in den 1980er-Jahren, verteilte Projekte ab den 1990ern. Seit 2017 hält Barinas Projekt den Stand, und es läuft weiter. Auch 2^71^ ist also ein Zwischenstand.

Roosendaals Rekord-Landschaft

Neben der systematischen Verifikation läuft eine zweite Jagd: auf Rekorde einzelner Bahnen. Eric Roosendaal betreibt eine öffentliche Datenbank, in der die Community solche Rekorde sammelt (Roosendaal). Zwei Größen stehen im Zentrum. Die Gesamtstoppzeit τ zählt die Schritte, bis eine Startzahl bei 1 ankommt. Der Gipfel M ist der höchste Wert, den die Bahn unterwegs erreicht. Der Klassiker unter den Startzahlen bleibt 27: 111 Schritte, Gipfel 9.232. Frühere Rekordhalter waren 871 mit 178 Schritten, dann 6171 mit 261, 77031 mit 350, schließlich 837799 mit 524 (Roosendaal). Alle liegen längst tief im systematisch geprüften Bereich; die heutigen Rekordhalter sind astronomisch größer.

Rekordjagd und Verifikation sind zwei verschiedene Tätigkeiten. Verifikation will Vollständigkeit bis zur Grenze. Rekordjagd sucht Ausnahmen: einzelne Zahlen, deren Bahnen besonders lang oder besonders hoch sind. Einzelne Bahnen lassen sich auch weit jenseits von 2^71^ durchrechnen — aber systematisch geprüft ist dort nichts.

Beobachtung ist kein Beweis

Verifikation ist Beobachtung, kein Beweis. Die Vermutung redet über alle positiven ganzen Zahlen. Die Rechnung sieht einen Anfangsabschnitt. Keine Rechenleistung der Welt verwandelt Beobachtung in Beweis.

Dazu kommt: Nichts in der Theorie sagt, dass ein Gegenbeispiel — falls es eines gibt — nahe der Verifikationsgrenze wohnen muss. Die Heuristik aus Kapitel 3 deutet eher das Gegenteil an: Ein Gegenbeispiel wäre vermutlich ein exotischer Ausreißer, keine kleine Zahl. Das geprüfte Gebiet ist also nicht einmal die Gegend, in der die Heuristik ein Gegenbeispiel vermutet. (Das bleibt eine Heuristik, kein Beweis — ungelöst bleibt ungelöst.)

Und was bringt die Grenze dann? Zähne. Jede Verifikationsgrenze übersetzt sich in harte Bedingungen. Jeder nichttriviale Kreis müsste vollständig oberhalb von 2^71^ liegen — dafür spricht der Rechenstand zusammen mit den Kreis-Sätzen aus Kapitel 4 (Barina 2025). Und die Volksweisheit vom kleinen Gegenbeispiel, das bloß übersehen wurde, ist erledigt: kleiner als 2^71^ kann keins sein.

Wie die Community mit Rechenbelegen umgeht, ist eine eigene Kultur: Ergebnisse gelten erst dann als Beleg, wenn sie reproduzierbar sind — verteilt gerechnet, unabhängig erneut lauffähig, zunehmend gegen formale Beweisassistenten gegengeprüft. Das sind Programme, die mathematische Argumente Schritt für Schritt maschinell kontrollieren. Wie weit selbst dieses Vertrauen trägt, zeigte 2026 ein Fehler im Kern des Beweisassistenten Lean; die Geschichte erzählt Kapitel 9.

Bleibt das Bild. Das Fernglas zeigt einen langen, scharfen Streifen Küste — und beweist nicht, dass die Küste nirgends abbiegt. Aber jeder Kilometer, den es zusätzlich abdeckt, macht die theoretischen Karten schärfer: für Kreise, für Schranken, für alles, was überhaupt noch möglich ist.

• Beobachtet: Jede Startzahl bis 2^71^ ≈ 2,36 × 10^21^ landet bei 1 — systematisch, lückenlos, ohne Stichprobe (Barina 2025). Darüber hinaus nur Einzelfälle, keine systematische Prüfung.
• Bewiesen: Nichts dergleichen. Die Verifikationsgrenze ist eine Beobachtungsgrenze; an der Unbewiesenheit der Vermutung ändert auch die beste Rechenleistung nichts (Stand 2026).
• Gewonnen: Harte Bedingungen für Gegenbeispiele — jeder nichttriviale Kreis müsste vollständig oberhalb von 2^71^ liegen, und klein kann keins sein.
• Offen: Was jenseits der Grenze geschieht, weiß niemand. Das Fernglas schweift weiter.