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7 · Fast alle — der Tao-Satz
Geprüft ist die Zahlengerade bis 2^71^: scharf bis dorthin, Dunst danach — Beobachtung, kein Beweis (Barina 2025). Statt Zahlen eine nach der anderen durchzurechnen, fragt die Statistik nach dem großen Ganzen: Wie verhalten sich die Bahnen insgesamt? Die Frage, die dieses Buch seit Kapitel 3 verfolgt, steht jetzt scharf: Wie nah kann Statistik an die Vermutung heran?
Ein Bild trägt das Kapitel: die Flutmarke. An Deichen und alten Hafenmauern stehen Striche, die festhalten, wie hoch das Wasser bei der schlimmsten Flut gestanden hat. Denk dir die Teilresultate der Collatz-Forschung als Fluten: Jeder Satz über „fast alle“ lässt das Wasser ein Stück höher an die Mauer des Problems laufen. Die Vermutung aber verlangt, dass die Flut eines Tages die ganze Mauer benetzt — jeden Stein, ohne Ausnahme. Das Bild zeigt, wo die offene Frage wohnt: nicht unten bei den durchgerechneten Zahlen, sondern in dem schmalen Streifen über der höchsten Flutmarke.
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Eine Leiter aus Sätzen
Nimm eine Startzahl um die Million und ihre Marke: die Zahl hoch 0,7925 — für eine Million sind das rund 57.000. Korec bewies 1994: Fast alle Bahnen tauchen irgendwann unter ihre eigene Marke n^0,7925^ — mit einem winzigen Toleranzspielraum nach oben. Das ist die schärfste Marke, die dieses Zählverfahren hergab: ein Zählargument über Restklassen, stark genug für „fast alle“, zu schwach für „alle“.
Davor stand die erste Stufe. Terras bewies 1976 (Kapitel 5 erzählt, wie): Fast alle Bahnen fallen irgendwann unter ihren Startwert. Damit stand die erste Marke an der Mauer. Allouche drückte sie 1979 auf n^0,869^ — noch sichtbar unter dem Startwert, schon eine echte Marke darunter. Das Maß für dieses „fast alle“ ist die natürliche Dichte: Zählt man die Zahlen bis zu einer Grenze X nach, strebt der Anteil der guten gegen 100 Prozent.
2019 legte Terence Tao die nächste Stufe nach. Es war keine Stufe mehr, sondern ein Sprung — und er braucht einen neuen Zählbegriff.
Der Satz: fast beschränkt
Der Satz erschien 2019 als Preprint — ein Manuskript, das Forschende vorab online stellen, bevor eine Fachzeitschrift es prüft und druckt — und wurde 2022 veröffentlicht (Tao 2022). Übersetzt lautet er:
Wähle irgendeine Schranke, die mit der Startzahl ins Unendliche wächst — egal wie langsam. Dann gilt für fast alle Startzahlen n: Die Bahn von n taucht irgendwann unter diese Schranke. Ihr tiefster Punkt liegt unter f(n) — unter der Schranke, die von der Startzahl abhängt.
Die Wahl der Schranke ist freigestellt; beliebt ist log log n — der Logarithmus des Logarithmus. Der Logarithmus wächst schon langsam; dieser Wert wächst noch viel langsamer. Eine Zahl mit hundert Stellen — gigantisch groß — hat eine doppelt logarithmierte Marke von rund 5,4. Taucht die Bahn eines solchen Startwerts unter die Marke, hat sie irgendwann eine Zahl von höchstens 5 berührt.
Genau dafür hat sich der Name eingebürgert, unter dem der Satz bekannt ist: Fast alle Bahnen erreichen fast beschränkte Werte — im Englischen almost bounded (Tao 2022). Fast beschränkt heißt: nicht die ganze Bahn unter einem Deckel, sondern ihr Tiefpunkt unter einer Marke, die nicht feststeht, sondern fast unmerklich mitwächst. Korecs Marke lag bei n^0,7925^, also noch in sichtbarer Entfernung vom Startwert. Taos Satz wirft alle solchen Marken zusammen: Der tiefste Punkt liegt unter jeder Schranke, die überhaupt wächst. Der Abstand zur festen Marke ist kaum noch zu sehen. Und doch ist er der ganze Unterschied. Darauf kommt es gleich an.
Was „fast alle“ hier heißt
Terras zählte mit natürlicher Dichte, Tao mit logarithmischer Dichte — im Englischen logarithmic density. Der Unterschied, einmal erklärt: Bei der natürlichen Dichte zählt jede Zahl gleich viel. Bei der logarithmischen Dichte bekommen die Zahlen Gewichte: Jede Zahl zählt mit dem Gewicht 1/n — je größer die Zahl, desto weniger wiegt sie. Kleine Zahlen wiegen viel, riesige wiegen fast nichts. Eine Menge hat logarithmische Dichte 1, wenn ihre Elemente fast das gesamte Gewicht auf sich ziehen.
Warum ein anderes Maß? Weil die Collatz-Regel ein Multiplizier-Verfahren ist — halbieren, 3n+1. Die logarithmische Zählung verträgt sich näherungsweise mit Multiplizieren, die natürliche nicht. Für einen Satz über eine multiplikative Regel ist das das richtige Handwerkszeug: Genau diese Unempfindlichkeit trägt den Beweis.
Und die Ehrlichkeit gehört dazu: Dünn ist nicht leer. Auch eine Menge der Dichte 0 kann unendlich viele Zahlen enthalten — die Quadratzahlen zum Beispiel. Unter den ersten X Zahlen sind es nur rund √X; der Anteil fällt gegen null, und trotzdem hören sie nie auf. „Fast alle“ heißt also, bei Tao wie bei Terras: bis auf eine Ausnahmemenge, über die der Satz nichts sagt. Nie verwechseln: „fast alle“ ist nicht „alle“. In dieser Lücke — der rote Faden seit Kapitel 3 — wohnt die offene Frage.
Warum das kein Vollbeweis ist
Taos Satz ist kein Beweis der Collatz-Vermutung. Er ist eine Aussage über fast alle Bahnen. Und er markiert selbst, wo seine Kraft endet.
Erstens die Schranke: Sie muss wachsen. Eine feste Marke, die an einer Stelle steht und nicht kriecht, ist mit dieser Methode nicht erreichbar. Wäre sie beweisbar, käme das der Vermutung beinahe gleich — genau deshalb zählt dieser Schritt zu dem, was die Methode nicht trägt.
Zweitens der Hebel: Die logarithmische Zählung ist nur näherungsweise unempfindlich gegen den Collatz-Schritt. Näherungsweise reicht für „fast alle“ — aber nicht für das unermüdliche Weiterdrehen, das „alle“ bräuchte. Das Argument lässt sich nicht beliebig oft nach unten iterieren, bis es jede Zahl erfasst. Der Hebel greift — und rutscht genau dort aus, wo die Ausnahme beginnt.
Woher kommt der Satz trotzdem? Aus dem Münzwurf-Bild von Kapitel 3. Tao hat die Heuristik analytisch rigoros gemacht: Wo das Modell annahm, die Paritätsfolgen liefen wie Münzwürfe, bewies er eine verwandte Eigenschaft streng — für fast alle Bahnen. Heuristik bleibt Heuristik. Aber an dieser Stelle ist aus der Erwartung ein Theorem geworden.
Bleibt die Kehrseite — die Pointe dieses Kapitels. Die Ausnahmemenge ist dünn, aber sie ist nicht als leer bewiesen. Sie könnte eine einzige Zahl enthalten. Und eine einzige genügt: Ein einziges Gegenbeispiel bringt die Vermutung zu Fall. Es müsste nicht einmal eine auffällige Zahl sein. Auch eine Bahn, die für immer wächst — das zweite Gespenst aus Kapitel 4 — hätte hier Platz; die Dichte-Sätze berühren sie nicht. Die Flut ist höher gestiegen als je zuvor: so nah am Ziel, wie Statistik reichen kann. Aber bis zur Oberkante der Mauer kann ein einziger trockener Stein stehen.
Theorem (Tao 2022). Wähle irgendeine Schranke, die mit der Startzahl ins Unendliche wächst — egal wie langsam (etwa log log n). Dann gilt für fast alle Startzahlen — gezählt nach logarithmischer Dichte: Der tiefste Punkt der Bahn liegt unter dieser Schranke. Fast alle Bahnen erreichen fast beschränkte Werte. (Preprint 2019.)
„Fast alle“ heißt: bis auf eine Ausnahmemenge, die logarithmisch gezählt verschwindet — dünn, aber nicht als leer bewiesen. Die Schranke muss wachsen; eine feste Schranke ist mit der Methode nicht erreichbar. Die Statistik ist der Vermutung so nah gekommen, wie Statistik reichen kann — und eine einzige widerspenstige Zahl kann sie zu Fall bringen.