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11 · Offene Nachbarn

Collatz wohnt nicht allein. In der Straße der großen offenen Probleme stehen Häuser nebeneinander, deren Bewohner sich zum Verwechseln ähneln: Alle haben am Gartentor einen Einzeiler stehen, alle Gärten wachsen dahinter wild, und von keinem gibt es einen Beweis. Dafür überall Rechenfronten, die weit vor die Theorie vorgedrungen sind.

Die Straße einmal entlang: Goldbach, Primzahlzwillinge, Riemann, ungerade vollkommene Zahlen, Busy Beaver. Fünf Zustände, eine Frage am Ende: Wo steht Collatz in dieser Reihe?

Goldbach: großflächig geprüft, genauso unbewiesen

Die Goldbach-Vermutung sagt: Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen. Primzahlen sind Zahlen, die sich nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilen lassen: 2, 3, 5, 7, 11. Kleine Beispiele: 10 = 3 + 7, 28 = 11 + 17. Bewiesen ist das nicht — die Vermutung ist offen.

Alle geraden Zahlen bis 4 × 10^18^ — also 4.000.000.000.000.000.000, rund 4 Trillionen — wurden geprüft, ohne dass auch nur eine Ausnahme auftauchte (Oliveira e Silva 2014). Zum Vergleich: Collatz' Verifikationsgrenze liegt mit 2^71^ ≈ 2,36 × 10^21^ sogar rund 590 Mal höher (Barina 2025) — an der Logik ändert das nichts. Beide benutzen dieselbe Methode und stoßen an dieselbe Grenze: Verifikation ist Beobachtung, kein Beweis, exakt wie in Kapitel 6. Ein Befund auf so breiter Fläche fühlt sich an wie „fast sicher". Aber ein Gefühl ist keine Mathematik: Ungelöst bleibt ungelöst, auch bei der größten Prüfgrenze der Straße.

Primzahlzwillinge: eine Leiter, die von oben kommt

Primzahlzwillinge sind Primzahlpaare im Abstand 2: 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13. Die Vermutung: Es gibt unendlich viele davon. Offen.

Was bewiesen ist, ist eine Kette von Schranken — und die kommt von oben. Zhang bewies 2013 erstmals eine endliche Schranke: Es gibt unendlich viele Primzahlpaare, die höchstens 70.000.000 auseinanderliegen (Zhang 2013). Maynard senkte den Wert 2015 auf 600 (Maynard 2015). Die Polymath8b-Kollaboration, ein offenes Massenprojekt vieler Mathematiker, brachte ihn auf 246 (Polymath8b 2014) — Stand 2026 ist das immer noch die beste bewiesene Schranke.

Beachte den Richtungswechsel: Bei Goldbach und Collatz wandert eine Prüfgrenze auf der Zahlenachse nach oben. Hier kommt eine bewiesene Schranke von oben auf die vermutete Wahrheit zu — die Vermutung sagt, der wahre Abstand ist 2, und die Beweis-Sprossen stehen inzwischen bei 246. Im Gartenbild: keine gemähte Fläche, die wächst, sondern eine Leiter, die Sprosse um Sprosse absteigt. Das ist der zweite Nachbarn-Typus: eine Theorie drum herum, die das Ziel noch lange nicht erreicht.

Riemann: eine nachgemessene Linie

Die Riemannsche Vermutung handelt von der Zeta-Funktion, einem Grundobjekt der Zahlentheorie. Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift mit Eingabe und Ausgabe; die Nullstellen einer Funktion sind die Eingaben, für die die Ausgabe null ist. Die Vermutung sagt: Alle nichttrivialen Nullstellen — die mathematisch bedeutsamen unter ihnen — liegen exakt auf einer einzigen geraden Linie, der kritischen Linie. Präziser: Ihr Realteil ist genau 1/2. Jede dieser Zahlen trägt zwei Koordinaten wie ein Punkt auf einer Landkarte; die Vermutung betrifft die eine, die andere wirkt wie eine Höhe — daher gleich: „alle Nullstellen bis zur Höhe …". Bewiesen ist das nicht.

Mit Intervallarithmetik — einer Rechentechnik, die jedem Ergebnis einen garantierten Toleranzraum mitgibt — wurde rigoros geprüft, dass alle Nullstellen bis zur Höhe 3.000.175.332.800 auf der Linie liegen: die untersten 12.363.153.437.138, rund 12,4 Billionen Stück (Platt und Trudgian 2021). Das Profil gleicht Collatz bis in die Pointe: eine scharf verifizierte Front, kein Beweis.

Ungerade vollkommene Zahlen: der enge Zaun

Eine vollkommene Zahl ist gleich der Summe ihrer echten Teiler — aller Teiler außer der Zahl selbst: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Beide Beispiele sind gerade. Ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist offen. Keine ist bekannt, und die Forschung erwartet keine.

Der Ausschluss arbeitet anders als bei Goldbach: nicht mit einer großen Rechenfront, sondern strukturell. Ochem und Rao bewiesen 2012: Wenn es eine gibt, dann ist sie größer als 10^1500^ — eine Zahl mit über 1500 Stellen —, hat mindestens 101 Primfaktoren (wenn ein Primfaktor mehrfach vorkommt, zählt er mehrfach) und ihr größter Baustein aus einer einzigen Primzahl-Potenz übersteigt 10^62^ — eine 1 mit 62 Nullen (Ochem und Rao 2012). Nichts davon beweist die Abwesenheit. Aber jede Schranke stellt den Zaun enger: Es bleibt immer weniger Raum, in dem sich so eine Zahl verstecken könnte. Diese Denkweise kennst du aus Kapitel 4 — dort werden mögliche Collatz-Kreise durch ähnliche Bedingungen eingezäunt.

Busy Beaver: das bewiesene Mauerstück

Und dann der eine Garten, in dem ein Stück Mauer wirklich steht. Die Busy-Beaver-Funktion geht auf Radó zurück (Radó 1962): S(n) ist die maximale Zahl von Schritten, die eine n-Zustands-Maschine mit zwei Symbolen vom leeren Band aus macht, bevor sie anhält. Eine Turing-Maschine ist ein Minimalmodell eines Rechners — wenige Zustände, wenige Regeln, ein Band; mit ihr definiert die Informatik, was überhaupt berechenbar heißt. Das Spiel: Schau alle Maschinen mit n Zuständen an und frag, wie viele Schritte die fleißigste unter denen macht, die irgendwann anhalten.

Radó bewies 1962: Es gibt keinen Algorithmus, der S(n) für alle n berechnet. Kein Verfahren, kein Programm — niemals. Das ist Unentscheidbarkeit im Wortsinne: kein Gefühl, keine Vermutung, sondern ein bewiesener Satz über die Funktion selbst. Bei Collatz ist das anders: Unentscheidbarkeit ist bisher nur für verallgemeinerte Familien verwandter Regeln bewiesen (Conway 1972; Kurtz und Simon 2007), nicht für die klassische 3n+1-Regel. Was es hieße, wenn auch sie unentscheidbar wäre, prüft Kapitel 12 in Ruhe.

Die Einzelwerte von S(n) sind entsprechend hart errungen. S(5) = 47.176.870 — bestimmt 2024 von der bbchallenge-Kollaboration, formal verifiziert im Beweisassistenten Coq — dem Programm, das jeden Beweisschritt maschinell kontrolliert — und publiziert auf der STOC 2026, einer großen Informatik-Konferenz (bbchallenge 2024). S(6) ist offen. Bekannte anhaltende 6-Zustands-Maschinen laufen schon länger als 2↑↑↑5 Schritte — verzeichnet von der Projektseite der Community (mxdys, 2025). Zur Pfeil-Schreibweise: Ein Pfeil bedeutet Potenzieren. Zwei Pfeile stapeln Potenzen zu einem Turm. Drei Pfeile stapeln solche Türme zu Türmen — 2↑↑↑5 lässt sich mit normalen Mitteln nicht mehr ausschreiben. Und eine einzelne Maschine mit nur sechs Zuständen läuft schon länger als das.

Wo Collatz im Feld steht

Nun die Übersicht — drei Bewohner-Typen, sechs Gärten:

Nachbar	Der Einzeiler am Tor	Stand 2026
Goldbach	Jede gerade Zahl > 2 Summe zweier Primzahlen?	Geprüft bis 4 × 10^18^, keine Ausnahme; unbewiesen (Oliveira e Silva 2014)
Primzahlzwillinge	Unendlich viele Paare im Abstand 2?	Bewiesen: Paare im Abstand ≤ 246 gibt es unendlich viele (Zhang 2013; Maynard 2015; Polymath8b 2014)
Riemann	Alle nichttrivialen Zeta-Nullstellen auf Realteil 1/2?	Geprüft: die untersten 12.363.153.437.138; unbewiesen (Platt und Trudgian 2021)
Ungerade vollkommene Zahlen	Gibt es überhaupt eine?	Keine bekannt; falls doch: größer als 10^1500^ (Ochem und Rao 2012)
Busy Beaver	Wie lange läuft die fleißigste anhaltende Maschine?	Unentscheidbarkeit bewiesen (Radó 1962); S(5) = 47.176.870, Coq-verifiziert (bbchallenge 2024)
Collatz	Landet jede Startzahl bei 1?	Geprüft bis 2^71^; fast alle Bahnen erreichen fast beschränkte Werte (Tao 2022, log-Dichte); unbewiesen (Barina 2025)

Goldbach und Riemann teilen Collatz' Profil: großflächig geprüft, unbewiesen. Zwillinge und vollkommene Zahlen haben eine Theorie drum herum — bewiesene Schranken statt reiner Beobachtung. Nur Busy Beaver trägt das Unentscheidbarkeits-Zertifikat.

Und Collatz selbst sitzt dazwischen. Kinderleicht zu sagen: Die Regel kennt inzwischen jedes Kind. Strukturell widerspenstig: seit fast 90 Jahren kein Beweis, obwohl das Problem ständig angegriffen wird. Tao zeigte 2022, dass fast alle Startzahlen fast beschränkte Werte erreichen — gemessen mit logarithmischer Dichte, nicht als Landung bei 1 (Tao 2022) — und trotzdem kann eine einzige widerspenstige Zahl genügen. In der Straße der offenen Probleme ist Collatz das Haus mit dem kleinsten Türschild und dem wildesten Garten.

Offene Probleme bleiben offen, bis jemand sie schließt. Wie es um das verschlossenste Tor im Feld steht, erzählt das nächste Kapitel.