Quellenlage: Growney 2011, Allouche Talence/0,869, Berg≠RPF, Fermat 1630er

Kanon zuerst (docs/01, 02, 03, 06, 08, 09, 10), dann Manuskript-Spiegel
(Kap. 5, 7, 8, 10, 13, Anhang B). Protokoll reviews/quellenlage-2026-08-29.md.
Kap. 11-Zahlen unangetastet. Allouche-Fundstelle: Séminaire Talence Exp. 9,
nicht JNT 12 (1979) 476–478.

05-erste-ernsthafte-saetze.md

@@ -24,7 +24,7 @@ Warum das ein echter Satz ist: kein Rechenbefund über die ersten Trilliarden, s
 
 ## Die Marke rückt nach unten
 
-1979 schärfte Jean-Paul Allouche dieselbe Zählmethode (Allouche 1979). Fast alle Bahnen tauchen demnach nicht nur unter den Startwert, sondern irgendwann unter eine feste Marke darunter: unter n hoch θ, mit einem festen θ kleiner als 1. Wie so eine Marke aussieht, ist Rechnung: Eine Million hoch 0,9 ist rund 250.000. Eine Marke also, die spürbar unter dem Startwert liegt — und unter die fast alle Bahnen irgendwann fallen. Welches θ die Methode hergibt, ist Technik; die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte vom Startwert nach unten.
+1979 schärfte Jean-Paul Allouche dieselbe Zählmethode (Allouche 1979). Fast alle Bahnen tauchen demnach nicht nur unter den Startwert, sondern irgendwann unter eine feste Marke darunter: unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869. Wie so eine Marke aussieht, ist Rechnung: Eine Million hoch 0,869 ist rund 164.000. Eine Marke also, die spürbar unter dem Startwert liegt — und unter die fast alle Bahnen irgendwann fallen. Die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte vom Startwert nach unten.
 
 In den Jahrzehnten danach wurde sie weiter hinabgedrückt — mit derselben Zähltechnik, jedes Mal für fast alle. Kapitel 7 folgt dieser Leiter bis zu ihrem vorläufigen Ende. Und es stößt an dieselbe Grenze wie Terras' Satz: die Ausnahmen.
 
@@ -50,7 +50,7 @@ Zum Mitnehmen — etikettiert, Theorem und Reichweite getrennt:
 
 **Theorem (Terras 1976; Everett 1977).** Fast alle Startzahlen haben eine endliche Stoppzeit: Ihre Bahn fällt irgendwann unter den Startwert. „Fast alle“ heißt: Zählt man Startzahlen bis zu einer Grenze nach, schrumpft der Anteil der Ausnahmen gegen null.
 
-**Theorem (Allouche 1979).** Fast alle Bahnen tauchen sogar unter eine feste Marke unter dem Startwert: unter n hoch θ, mit einem festen θ kleiner als 1.
+**Theorem (Allouche 1979).** Fast alle Bahnen tauchen sogar unter eine feste Marke unter dem Startwert: unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869.
 
 **Theorem (Conway 1972).** Verallgemeinerte Collatz-Regeln können jede Rechnung simulieren; ein Verfahren, das für jede Regel der Familie entscheidet, ob alle Bahnen bei 1 landen, existiert nicht. Die Aussage trifft die Familie, nicht die 3n+1-Regel — ausführlich in Kapitel 12.
 

07-fast-alle.md

@@ -10,7 +10,7 @@ Ein Bild trägt das Kapitel: die **Flutmarke**. An Deichen und alten Hafenmauern
 
 Nimm eine Startzahl um die Million und ihre Marke: die Zahl hoch 0,7925 — für eine Million sind das rund 57.000. Korec bewies 1994: Fast alle Bahnen tauchen irgendwann unter ihre eigene Marke n^0,7925^ — mit einem winzigen Toleranzspielraum nach oben. Das ist die schärfste Marke, die dieses Zählverfahren hergab: ein Zählargument über Restklassen, stark genug für „fast alle“, zu schwach für „alle“.
 
-Davor stand die erste Stufe. Terras bewies 1976 (Kapitel 5 erzählt, wie): Fast alle Bahnen fallen irgendwann unter ihren Startwert. Damit stand die erste Marke an der Mauer. Das Maß für dieses „fast alle“ ist die natürliche Dichte: Zählt man die Zahlen bis zu einer Grenze X nach, strebt der Anteil der guten gegen 100 Prozent.
+Davor stand die erste Stufe. Terras bewies 1976 (Kapitel 5 erzählt, wie): Fast alle Bahnen fallen irgendwann unter ihren Startwert. Damit stand die erste Marke an der Mauer. Allouche drückte sie 1979 auf n^0,869^ — noch sichtbar unter dem Startwert, schon eine echte Marke darunter. Das Maß für dieses „fast alle“ ist die natürliche Dichte: Zählt man die Zahlen bis zu einer Grenze X nach, strebt der Anteil der guten gegen 100 Prozent.
 
 2019 legte Terence Tao die nächste Stufe nach. Es war keine Stufe mehr, sondern ein Sprung — und er braucht einen neuen Zählbegriff.
 

08-beweisideen.md

@@ -34,7 +34,7 @@ Wo sie hängen bleibt: an zwei Stellen. Erstens: „fast alle“ ist nicht „al
 
 ## Der Transferoperator
 
-Ein anderer Blick folgt nicht einer Zahl, sondern einer Bevölkerung. Ein Transferoperator nimmt eine Verteilung von Zahlen und schiebt sie einen Schritt durch die Regel. Berg und Meinardus 1994 haben die Collatz-Vermutung in diese Sprache übersetzt: Sie wird zu einer Aussage über Lösungen gewisser Funktionsgleichungen und, gleichwertig, über die Spektralwerte eines Ruelle–Perron–Frobenius-Transferoperators — Eigenwerte und Spektralradius, grob gesagt: die Verstärkungsfaktoren der Maschine.
+Ein anderer Blick folgt nicht einer Zahl, sondern einer Bevölkerung. Ein Transferoperator nimmt eine Verteilung von Zahlen und schiebt sie einen Schritt durch die Regel. Berg und Meinardus 1994 übersetzten die Collatz-Vermutung in erzeugende Funktionen und lineare Funktionsgleichungen: Die Vermutung wird zu einer Aussage über die Lösungen dieser Gleichungen. Spätere Arbeiten lesen dasselbe als Spektralfrage an einem Transferoperator — Eigenwerte und Spektralradius, grob gesagt: die Verstärkungsfaktoren der Maschine.
 
 Was das erklärt: Der Ansatz verbindet Collatz mit einem ausgereiften Feld — der Spektraltheorie dynamischer Systeme.
 

10-geloeste-riesen.md

@@ -8,13 +8,13 @@ Das Bild dieses Kapitels ist der Brückenbau. Ein Problem steht auf einem Ufer.
 
 ## Fermat: über 350 Jahre, dann eine Brücke aus einem fremden Tal
 
-Die Behauptung ist kurz. Für n = 2 gibt es von null verschiedene ganze Zahlen, die x^n + y^n = z^n erfüllen — der Satz des Pythagoras lebt davon. Für jeden größeren Exponenten gibt es sie nicht. Diese Notiz schrieb Pierre de Fermat um 1630 an den Rand seines Exemplars von Diophants *Arithmetica*; veröffentlicht wurde sie posthum durch seinen Sohn. Offen blieb der Satz über 350 Jahre.
+Die Behauptung ist kurz. Für n = 2 gibt es von null verschiedene ganze Zahlen, die x^n + y^n = z^n erfüllen — der Satz des Pythagoras lebt davon. Für jeden größeren Exponenten gibt es sie nicht. Diese Notiz schrieb Pierre de Fermat in den 1630er Jahren an den Rand seines Exemplars von Diophants *Arithmetica*; veröffentlicht wurde sie posthum durch seinen Sohn. Offen blieb der Satz über 350 Jahre.
 
 Gelöst wurde er nicht durch längeres Starren auf die Gleichung. Der Weg führte über elliptische Kurven — glatte Kurven aus einem ganz anderen Teil der Mathematik, die Geometrie und Zahlentheorie miteinander verbinden. Gerhard Frey zeigte 1986: Ein Gegenbeispiel zu Fermat würde eine eigentümliche elliptische Kurve erzeugen. Ken Ribet bewies die sogenannte Epsilon-Vermutung von Serre — angekündigt 1986, publiziert 1990. Damit stand fest: Die Modularitätsvermutung für elliptische Kurven, damals unter dem Namen Taniyama–Shimura-Vermutung bekannt, zieht den Fermatschen Satz nach sich (Ribet 1990; Darmon, Diamond und Taylor 1995). Modularität heißt dabei nichts anderes als eine Brücke: von den elliptischen Kurven hinüber zu einer anderen, fernen Welt der Mathematik, den modularen Formen.
 
 Andrew Wiles verkündete am 23. Juni 1993, im letzten Vortrag seiner Reihe am Isaac Newton Institute in Cambridge, einen Beweis — für genau jene Kurvenklasse, die Frey konstruiert hatte. Während der Begutachtung öffnete sich eine Lücke; Wiles selbst meldete sie am 4. Dezember 1993. 1994 schlossen er und Richard Taylor sie, 1995 erschien der Beweis als zwei Arbeiten in den *Annals of Mathematics* (Wiles 1995; Taylor und Wiles 1995). Die volle Modularitätsvermutung folgte 2001, durch Breuil, Conrad, Diamond und Taylor.
 
-Drei und ein halbes Jahrhundert stand der Satz still. Dann fiel er — nicht durch einen neuen Blick auf die alte Frage, sondern durch eine Brücke zu einem Ufer, das es 1630 so noch nicht gab.
+Drei und ein halbes Jahrhundert stand der Satz still. Dann fiel er — nicht durch einen neuen Blick auf die alte Frage, sondern durch eine Brücke zu einem Ufer, das es in Fermats Jahrhundert so noch nicht gab.
 
 ## Poincaré: fast ein Jahrhundert und ein Programm, das einer zu Ende tragen musste
 

13-nachwort.md

@@ -12,7 +12,7 @@ Wo steht die Jagd? Systematisch geprüft ist der Bereich bis 2^71^ — eine Zahl
 
 Deshalb lohnt ein Blick auf das, was die Jagd ohne Schatz schon getragen hat. Erstens die Bilder: das Hagelkorn, das in der Wolke aufsteigt und zu Boden fällt; der Baum, der rückwärts wächst. Bilder sind keine Beweise. Aber sie bringen Menschen zum Nachrechnen, und das tun bis heute viele. Zweitens die Informatik: Ein verteiltes Rechenprojekt schiebt die Prüfgrenze Jahr um Jahr nach oben (Barina 2025). John Conway zeigte 1972, dass verwandte, verallgemeinerte Regeln ganze Rechner simulieren können; Kurtz und Simon verschärften das 2007. Für die Familien dieser verallgemeinerten Regeln gibt es kein Allverfahren — die klassische Regel bleibt die offene Ausnahme. Drittens die Zufallsmodelle: Sie haben gelehrt, „im Schnitt“ und „für immer“ sauber auseinanderzuhalten. Heuristik heißt Heuristik. Viertens die Demut: Richard Guy betitelte 1983 einen Beitrag „Don't try to solve these problems!“ — Versucht nicht, diese Probleme zu lösen (Guy 1983). Paul Erdős meinte, die Mathematik sei für solche Probleme noch nicht reif (Lagarias 1985). Fehlversuche werden in der Fachliteratur dokumentiert statt versteckt (Lagarias 1985, Lagarias 2010). Auch das hat Collatz der Disziplin hinterlassen.
 
-JoAnne Growney hat dem Problem ein Gedicht gegeben: „A Mathematician's Nightmare“ (2006). Darin verkauft ein Allgemeinladen seine Waren nach der Regel. Die Sprecherin schielt auf einen geschliffenen Spiegel, Preis: 27 Dollar. Ihre Frage: „shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?“ — Kaufen oder 59 Tage warten, bis der Preis niedriger ist? Das Gedicht rechnet mit der Shortcut-Variante der Regel: ungerade Zahl mal drei, plus eins, sofort halbiert — das zählt als ein Schritt. In dieser Zählung dauert die Reise von 27 siebzig Schritte, der Gipfel liegt bei 4616, und nach genau 59 Tagen fällt der Preis zum ersten Mal unter 27. In der klassischen Zählung, in der das Halbieren ein eigener Schritt ist, sind es 111 Schritte und der Gipfel 9232. Gleiche Bahn, andere Uhr. Wer das Gedicht nachrechnet, sollte wissen, welche Uhr es nimmt.
+JoAnne Growney hat dem Problem ein Gedicht gegeben: „A Mathematician's Nightmare“ (2011). Darin verkauft ein Allgemeinladen seine Waren nach der Regel. Die Sprecherin schielt auf einen geschliffenen Spiegel, Preis: 27 Dollar. Ihre Frage: „shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?“ — Kaufen oder 59 Tage warten, bis der Preis niedriger ist? Das Gedicht rechnet mit der Shortcut-Variante der Regel: ungerade Zahl mal drei, plus eins, sofort halbiert — das zählt als ein Schritt. In dieser Zählung dauert die Reise von 27 siebzig Schritte, der Gipfel liegt bei 4616, und nach genau 59 Tagen fällt der Preis zum ersten Mal unter 27. In der klassischen Zählung, in der das Halbieren ein eigener Schritt ist, sind es 111 Schritte und der Gipfel 9232. Gleiche Bahn, andere Uhr. Wer das Gedicht nachrechnet, sollte wissen, welche Uhr es nimmt.
 
 Bleibt das Bild, mit dem dieses Buch angefangen hat: der Baum. Wächst man ihn rückwärts — von der 1 aus, Zweig für Zweig zurück zu den Zahlen, die dorthin führen — sieht er aus wie eine Koralle. Ein Bild, kein Beweis. Die Vermutung sagt: Dieser Korallenbaum enthält jede positive ganze Zahl. Keine fehlt. Keine hängt für immer in der Luft. Keine driftet ins Unendliche. Beweisen lässt sich das nicht durch Nachrechnen — dafür sind es zu viele Zahlen. Also wächst der Korallenbaum weiter, solange niemand eine Zahl findet, die sich weigert, nach Hause zu kommen.
 

15-kommentierte-literatur.md

@@ -24,7 +24,7 @@ Diese Arbeiten beweisen etwas Echtes — und lassen die Vermutung offen. „Fast
 
 **Everett 1977.** C. J. Everett bewies dasselbe Ergebnis unabhängig. Zwei Vermesser, eine Linie.
 
-**Allouche 1979.** Jean-Paul Allouche schärfte die Zählmethode: Fast alle Bahnen tauchen nicht nur unter den Startwert, sondern unter eine feste Marke darunter — unter n hoch θ, mit einem θ kleiner als 1. Die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte nach unten.
+**Allouche 1979.** Jean-Paul Allouche schärfte die Zählmethode: Fast alle Bahnen tauchen nicht nur unter den Startwert, sondern unter eine feste Marke darunter — unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869. Die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte nach unten.
 
 **Korec 1994.** Ivan Korec drückte die Marke auf n^0,7925^ — die schärfste Stufe, die dieses Zählverfahren hergab. Stark genug für „fast alle“, zu schwach für „alle“.
 
@@ -96,7 +96,7 @@ Diese Stimmen tragen die Kultur, nicht den Beweisstand.
 
 **Harper's Magazine 2025.** Joe Kloc: Lagarias zu Alex Kontorovich — „Don't fall into that trap.“ Kontorovich ließ sich nicht warnen.
 
-**Growney 2006.** JoAnne Growneys Gedicht *A Mathematician's Nightmare*: ein Laden, dessen Preise der Shortcut-Regel folgen — ungerade mal drei, plus eins, sofort halbiert, das zählt als ein Schritt. Der Spiegel kostet 27 Dollar. Die Uhr im Gedicht ist diese Kurzform, nicht die klassische, in der jedes Halbieren extra zählt. Kapitel 13 rechnet beide nach.
+**Growney 2011.** JoAnne Growneys Gedicht *A Mathematician's Nightmare*, belegt 2011: ein Laden, dessen Preise der Shortcut-Regel folgen — ungerade mal drei, plus eins, sofort halbiert, das zählt als ein Schritt. Der Spiegel kostet 27 Dollar. Die Uhr im Gedicht ist diese Kurzform, nicht die klassische, in der jedes Halbieren extra zählt. Kapitel 13 rechnet beide nach.
 
 **xkcd 710.** Randall Munroe: „…you repeat this procedure long enough, eventually your friends will stop calling to see if you want to hang out.“ Kapitel 0 zitiert die Caption vollständig.
 

docs/01-introduction.md

@@ -55,7 +55,7 @@ The same iteration has circulated under several names: **3x+1 problem** (the sta
 - **Arithmetic structure.** A proof would illuminate the interplay between the prime factorizations of `n` and of `n + 1`: the odd step `n ↦ 3n+1` mixes the 2-adic (parity) structure with multiplication by 3, and no invariant is known ([02](02-mathematical-foundations.md)).
 - **A proving ground.** The problem has driven methods in density theorems ([03](03-partial-results.md)), stochastic modeling ([05](05-heuristics.md)), Diophantine approximation (Baker's theorem), transfer operators, and formal verification ([07](07-open-problems.md)).
 - **A cautionary culture.** The problem attracts a steady stream of incorrect proofs; recognizing the recurring failure modes is part of the literature ([07](07-open-problems.md)). Richard Guy's *American Mathematical Monthly* column piece is literally titled *Don't try to solve these problems!* ([Guy 1983](08-references.md#guy-1983)). Lagarias calls it *"a really dangerous problem. People become obsessed with it"* ([Quanta 2019](08-references.md#quanta-2019)) and warned Alex Kontorovich: *"Don't fall into that trap"* ([Harper's 2025](08-references.md#harpers-2025)).
-- **A cultural footprint.** The conjecture lives in popular culture: xkcd no. 710 concludes that repeating the procedure long enough means *"eventually your friends will stop calling"* ([xkcd 710](08-references.md#xkcd-710)); xkcd no. 356 coined the term *nerd sniping* for the general phenomenon ([xkcd 356](08-references.md#xkcd-356)); JoAnne Growney's poem *A Mathematician's Nightmare* imagines a general store whose prices follow the rule — a beveled mirror priced at 27 dollars, *"shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?"* ([Growney 2006](08-references.md#growney-2006)).
+- **A cultural footprint.** The conjecture lives in popular culture: xkcd no. 710 concludes that repeating the procedure long enough means *"eventually your friends will stop calling"* ([xkcd 710](08-references.md#xkcd-710)); xkcd no. 356 coined the term *nerd sniping* for the general phenomenon ([xkcd 356](08-references.md#xkcd-356)); JoAnne Growney's poem *A Mathematician's Nightmare* imagines a general store whose prices follow the rule — a beveled mirror priced at 27 dollars, *"shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?"* ([Growney 2011](08-references.md#growney-2011)).
 
 ## Navigation
 

docs/02-mathematical-foundations.md

@@ -55,7 +55,7 @@ The direct preimages of `m` under `C` are `2m` (always) and, if `m ≡ 4 (mod 6)
 
 ### Functional equations and transfer operators
 
-[Berg and Meinardus 1994](08-references.md#berg-and-meinardus-1994) reformulate the conjecture via generating functions: it is equivalent to a statement about the solutions of certain functional equations, or equivalently about spectral properties (eigenvalues / spectral radius) of the associated Ruelle–Perron–Frobenius **transfer operator**. This connects the problem to dynamical-systems spectral theory; no proof has resulted so far — why this route stalls: [09](09-failed-attempts.md), Section 9.3.
+[Berg and Meinardus 1994](08-references.md#berg-and-meinardus-1994) reformulate the conjecture via generating functions: it is equivalent to a statement about the solutions of certain linear functional equations (and, in a second equivalent form, about the rationality of certain generating functions). Later dynamical work reads the same equations as a spectral statement about a transfer operator (eigenvalues / spectral radius; Ruelle–Perron–Frobenius language belongs to that later reading, not to the 1994 paper). No proof has resulted so far — why this route stalls: [09](09-failed-attempts.md), Section 9.3.
 
 ### Tag systems
 

docs/03-partial-results.md

@@ -6,7 +6,7 @@ All statements here are theorems with peer-reviewed proofs. Together they constr
 
 - **Theorem ([Terras 1976](08-references.md#terras-1976); independently [Everett 1977](08-references.md#everett-1977)).** The set of `n` with finite stopping time (`σ(n) < ∞`, i.e. the trajectory eventually drops below `n`) has natural density 1.
   *Method:* the residue of `n` mod `2^k` fixes the first `k` trajectory parities (up to an affine map); counting the residue classes that avoid any descent in `k` steps gives an exceptional density that tends to 0.
-- **[Allouche 1979](08-references.md#allouche-1979).** Extensions of the same method: for almost all `n`, the trajectory eventually falls below `n^θ` for suitable `θ < 1`.
+- **[Allouche 1979](08-references.md#allouche-1979).** Extensions of the same method: for almost all `n`, the trajectory eventually falls below `n^θ` for every fixed `θ > 3/2 − log 3 / log 2 ≈ 0.869` ([Tao 2022](08-references.md#tao-2022)).
 - **Theorem ([Korec 1994](08-references.md#korec-1994)).** For every `θ > log 3 / log 4 ≈ 0.7925`, almost all `n` have `C^k(n) < n^θ` for some `k`. This is the sharpest exponent obtainable by the modular-counting method.
 - **Theorem ([Krasikov and Lagarias 2003](08-references.md#krasikov-and-lagarias-2003)).** At least `x^0.84` integers in `[1, x]` eventually reach 1 — a counting lower bound on the verified set, independent of density language.
 
@@ -47,7 +47,7 @@ No divergent trajectory is known, and none has been ruled out. The density resul
 
 ```
 Terras 1976        : σ(n) < ∞              for density-1 many n
-Allouche 1979      : below n^θ             for suitable θ < 1, density-1 many
+Allouche 1979      : below n^θ             for θ > ≈ 0.869, density-1 many
 Korec 1994         : below n^0.7925+ε      density-1 many
 Krasikov–Lagarias  : ≥ x^0.84 numbers ≤ x  reach 1
 Tao 2022           : below any f(n) → ∞    for log-density-1 many n

docs/06-generalizations.md

@@ -45,5 +45,5 @@ A **generalized Collatz map** is a piecewise-affine map on the integers: fix a m
 ## 6.4 Continuous and p-adic extensions
 
 - **2-adic dynamics.** `T` extends to the 2-adic integers and is conjugate to the shift map ([02](02-mathematical-foundations.md), Section 2.2) — a complete, but non-decisive, dynamical description.
-- **Analytic reformulations.** The transfer-operator / functional-equation program of [Berg and Meinardus 1994](08-references.md#berg-and-meinardus-1994) recasts the conjecture as a spectral statement; related approaches study Collatz-type maps on the reals (piecewise-linear extensions) and complex interpolations. None has yielded a proof; see [09](09-failed-attempts.md), Sections 9.3 and 9.9, for where these routes stall.
+- **Analytic reformulations.** [Berg and Meinardus 1994](08-references.md#berg-and-meinardus-1994) recast the conjecture as a statement about generating functions and linear functional equations; later work reads that as a spectral statement about a transfer operator. Related approaches study Collatz-type maps on the reals (piecewise-linear extensions) and complex interpolations. None has yielded a proof; see [09](09-failed-attempts.md), Sections 9.3 and 9.9, for where these routes stall.
 - **3-adic structure.** The odd step's multiplication by 3 introduces genuinely 3-adic phenomena (visible in Tao's proof, [03](03-partial-results.md), Section 3.2); the tension between the 2-adic and 3-adic pictures is a recurring theme ([07](07-open-problems.md)).

docs/08-references.md

@@ -14,7 +14,8 @@ C. J. Everett, *Iteration of the number-theoretic function f(2n) = n, f(2n+1) =
 R. P. Steiner, *A theorem on the Syracuse problem*, Acta Arithmetica 33 (1977), 135–141. — No nontrivial 1-cycles; first application of Baker's theorem to the problem. (Print.)
 
 ### Allouche 1979
-J.-P. Allouche, *Sur la conjecture de "Syracuse"*, Journal of Number Theory 12 (1979), 476–478. — Density extensions to below-`n^θ` descent. (Print.)
+J.-P. Allouche, *Sur la conjecture de "Syracuse-Kakutani-Collatz"*, Séminaire de Théorie des Nombres, 1978–1979, Exp. No. 9, 15 pp., CNRS, Talence, 1979. — For almost all `n` (natural density), the trajectory falls below `n^θ` for every fixed `θ > 3/2 − log 3 / log 2 ≈ 0.869`. Cited thus by [Tao 2022](#tao-2022); confirmed by Allouche, *T. Tao and the Syracuse conjecture*, EMS Magazine (English translation of *La Gazette des Mathématiciens* 168, April 2021), with `c > 0.8691`. An earlier canon line locating this paper at *Journal of Number Theory* 12 (1979), 476–478 was a mis-location (JNT vol. 12 is 1980); the work exists as the Talence seminar notes. (Print/seminar notes.)
+- EMS Magazine translation: <https://euromathsoc.org/magazine/articles/64>
 
 ### Korec 1994
 I. Korec, *A density estimate for the `3x+1` problem*, Mathematica Slovaca 44 (1994), 85–89. — Almost all orbits fall below `n^θ` for `θ > log 3/log 4 ≈ 0.7925`. (Print.)
@@ -51,7 +52,7 @@ H. S. M. Coxeter, *Cyclic sequences and frieze patterns: The Fourth Felix Behren
 L. Collatz, *On the motivation and origin of the (3n+1) problem* (Chinese), Journal of Qufu Normal University, Natural Science Edition 12 (1986), no. 3, 9–11. — Based on a talk at Qufu Normal University; the only paper by Collatz discussing his work on the problem. English translation included in [Lagarias 2010](#lagarias-2010). (Print.)
 
 ### Berg and Meinardus 1994
-L. Berg, G. Meinardus, *Functional equations connected with the Collatz problem*, Results in Mathematics 25 (1994), 1–12. — Functional-equation/transfer-operator reformulation. (Print.)
+L. Berg, G. Meinardus, *Functional equations connected with the Collatz problem*, Results in Mathematics 25 (1994), 1–12. — Generating functions, linear recurrences, and two equivalent analytic versions of the conjecture (rationality of certain generating functions; solutions of a linear functional equation). Transfer-operator / Ruelle–Perron–Frobenius language is a later dynamical reading, not the 1994 wording. (Print.)
 
 ### Lagarias and Weiss 1992
 J. C. Lagarias, A. Weiss, *The `3x+1` problem: two stochastic models*, Annals of Applied Probability 2 (1992), 229–261. — Branching-random-walk model; record constant `β_max ≈ 41.68`. (Print.)
@@ -201,7 +202,7 @@ P. J. Cohen, *The independence of the continuum hypothesis*, Proceedings of the
 
 ### MacTutor institutional history
 J. J. O'Connor, E. F. Robertson, MacTutor History of Mathematics (University of St Andrews) — institutional secondary sources for verified narrative dates:
-- Fermat's last theorem (margin note c. 1630; 1993–1995 chronology): <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem/>
+- Fermat's last theorem (MacTutor: margin note c. 1630; commonly dated c. 1637 after Bachet's Diophantus; the exact year is not documented; 1993–1995 chronology): <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem/>
 - Andrew Wiles, biography (23 June 1993 announcement; 4 December 1993 statement; 19 September 1994 breakthrough): <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles/>
 - The four colour theorem (1852 origin; 1976 proof; reception and verification): <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_four_colour_theorem/>
 
@@ -316,10 +317,10 @@ K. Hartnett, *Mathematician proves huge result on 'dangerous' problem*, Quanta M
 J. Kloc, *The Dangerous Problem*, Harper's Magazine, February 2025. — Essay on the conjecture's cultural pull; source of the Kontorovich anecdote (Lagarias: *"Don't fall into that trap"* — ignored).
 - <https://harpers.org/archive/2025/02/the-dangerous-problem-collatz-conjecture-joe-kloc/>
 
-### Growney 2006
-J. Growney, *A Mathematician's Nightmare*, poem, in: *My Dance is Mathematics* (Paper Kite Press, 2006); blog version 2011. — A general store whose prices follow the Collatz rule in shortcut form `(3n+1)/2`; a mirror priced at 27 dollars — *"shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?"*
+### Growney 2011
+J. Growney, *A Mathematician's Nightmare*, poem, first posted 27 March 2011; reprinted April 2011 in the MAA SIGMAA BIG newsletter. — A general store whose prices follow the Collatz rule in shortcut form `(3n+1)/2`; a mirror priced at 27 dollars — *"shall I buy or wait for fifty-nine days until the price is lower?"* The 2006 chapbook *My Dance is Mathematics* (Paper Kite Press) is a different collection (title poem on Emmy Noether, first in *Mathematics Magazine* 68, 1995); it does not document this Collatz poem.
 - Blog post: <https://poetrywithmathematics.blogspot.com/2011/03/nightmare-of-unsolved-problem.html>
-- Chapbook page: <https://joannegrowney.com/ChapbookMyDance.html>
+- Chapbook page (other work): <https://joannegrowney.com/ChapbookMyDance.html>
 
 ### xkcd 710
 R. Munroe, *Collatz Conjecture*, xkcd no. 710. — Caption: *"...you repeat this procedure long enough, eventually your friends will stop calling to see if you want to hang out."* Title text: *"The Strong Collatz Conjecture states that this holds for any set of obsessively-hand-applied rules."*

docs/09-failed-attempts.md

@@ -15,7 +15,7 @@ This file documents **substantial** attempts only: approaches with genuine mathe
 
 ## 9.3 The transfer-operator spectral route (stalled)
 
-- **Approach.** Via the Berg–Meinardus functional equation ([02](02-mathematical-foundations.md), 2.2), the conjecture becomes a spectral statement about the associated Ruelle–Perron–Frobenius transfer operator: prove that the spectrum contains no eigenvalue beyond those forced by the trivial cycle.
+- **Approach.** Via the Berg–Meinardus functional equation ([02](02-mathematical-foundations.md), 2.2), later work recasts the conjecture as a spectral statement about an associated transfer operator: prove that the spectrum contains no eigenvalue beyond those forced by the trivial cycle. The Ruelle–Perron–Frobenius label is that later reading, not the 1994 wording.
 - **Where it stalls.** The operator acts on an infinite-dimensional function space whose spectral theory exceeds current analytic tools. Numerical studies confirm the expected spectral picture, but numerics are not proof. Decades after the reformulation, no analytic spectral gap has been established — see also the related analytic extensions in [06](06-generalizations.md), 6.4.
 
 ## 9.4 From "almost all" to "all" (stalled)
@@ -55,7 +55,7 @@ This file documents **substantial** attempts only: approaches with genuine mathe
 |-------|----------------|-------------------|
 | Modular induction | Terras-style depth iteration | density 0 ≠ empty (9.1) |
 | 2-adic conjugacy | Bernstein 1994 | `ℕ⁺` measure-zero in `ℤ₂` (9.2) |
-| Spectral / transfer operator | Berg–Meinardus 1994 | spectrum out of analytic reach (9.3) |
+| Spectral / transfer operator | Berg–Meinardus 1994 (functional equations; later spectral reading) | spectrum out of analytic reach (9.3) |
 | Density program | Tao 2022 endpoint | no invariance of log density (9.4) |
 | Baker theory | Steiner → Hercher chain | needs closed cycle structure (9.5) |
 | Deep-theorem import | Mihăilescu in cycle equations | hypotheses not met (9.6) |

docs/10-comparisons.md

@@ -6,7 +6,7 @@ Facts file for Book Part IV ("Collatz im Konzert der großen Probleme"): the fam
 
 ## 10.1 Fermat's Last Theorem
 
-No nonzero integers `x, y, z` satisfy `x^n + y^n = z^n` for `n > 2`. Fermat stated it in the margin of his copy of Diophantus's *Arithmetica* (c. 1630; the note was published posthumously by his son) ([MacTutor history](08-references.md#mactutor-institutional-history), [Darmon–Diamond–Taylor 1995](08-references.md#darmon-diamond-and-taylor-1995)); it stayed open for over 350 years. The route to proof ran through elliptic curves: Frey (1986) attached a semistable elliptic curve to a hypothetical counterexample, and Ribet's proof of Serre's "epsilon conjecture" (announced 1986, published 1990) showed that the modularity conjecture for elliptic curves (then the Taniyama–Shimura conjecture) implies the theorem ([Ribet 1990](08-references.md#ribet-1990), [Darmon–Diamond–Taylor 1995](08-references.md#darmon-diamond-and-taylor-1995)). Andrew Wiles announced such a modularity result — for semistable elliptic curves — in the final lecture of his Cambridge series at the Isaac Newton Institute on 23 June 1993; a gap surfaced during refereeing (Wiles's statement of 4 December 1993) and was closed with Richard Taylor in 1994, with the corrected proof published as two papers in *Annals of Mathematics* 141 (1995) ([Wiles 1995](08-references.md#wiles-1995), [Taylor and Wiles 1995](08-references.md#taylor-and-wiles-1995), [MacTutor: Wiles](08-references.md#mactutor-institutional-history)). The full modularity theorem followed in 2001 (Breuil–Conrad–Diamond–Taylor).
+No nonzero integers `x, y, z` satisfy `x^n + y^n = z^n` for `n > 2`. Fermat stated it in the margin of his copy of Diophantus's *Arithmetica* (in the 1630s — commonly dated c. 1637, after Bachet's Diophantus; MacTutor writes c. 1630; the exact year is not documented; the note was published posthumously by his son) ([MacTutor history](08-references.md#mactutor-institutional-history), [Darmon–Diamond–Taylor 1995](08-references.md#darmon-diamond-and-taylor-1995)); it stayed open for over 350 years. The route to proof ran through elliptic curves: Frey (1986) attached a semistable elliptic curve to a hypothetical counterexample, and Ribet's proof of Serre's "epsilon conjecture" (announced 1986, published 1990) showed that the modularity conjecture for elliptic curves (then the Taniyama–Shimura conjecture) implies the theorem ([Ribet 1990](08-references.md#ribet-1990), [Darmon–Diamond–Taylor 1995](08-references.md#darmon-diamond-and-taylor-1995)). Andrew Wiles announced such a modularity result — for semistable elliptic curves — in the final lecture of his Cambridge series at the Isaac Newton Institute on 23 June 1993; a gap surfaced during refereeing (Wiles's statement of 4 December 1993) and was closed with Richard Taylor in 1994, with the corrected proof published as two papers in *Annals of Mathematics* 141 (1995) ([Wiles 1995](08-references.md#wiles-1995), [Taylor and Wiles 1995](08-references.md#taylor-and-wiles-1995), [MacTutor: Wiles](08-references.md#mactutor-institutional-history)). The full modularity theorem followed in 2001 (Breuil–Conrad–Diamond–Taylor).
 
 ## 10.2 The Poincaré conjecture
 

reviews/quellenlage-2026-08-29.md

@@ -0,0 +1,38 @@
+# Quellenlage — Prüfung und Anpassung
+
+| Feld | Wert |
+|------|------|
+| **Datum** | 2026-08-29 |
+| **Anlass** | Externe Quellenlage-Prüfung gegen Manuskript + `docs/` |
+| **Modus** | Audit gehalten; Kanon zuerst, dann Manuskript-Spiegel |
+| **Nicht** | Kap. 11-Zahlen · Vollbibliografie · PDF · Commit |
+
+## Kurzantwort
+
+Die Kernliteratur existiert. Keine erfundenen Klassiker (Lagarias, Terras, Tao, Conway, Barina, Hercher …). Die Collatz-Linie (Regel, 2^71, Tao log-Dichte, Kreise als Täler, Conway-Familie) bleibt substanzrichtig.
+
+Die Prüfung hält in der Hauptsache. Angepasst:
+
+1. **Growney 2006** — Jahr falsch; Gedicht 2011 (Blog 27. März, Nachdruck April). Das Chapbook *My Dance is Mathematics* (2006) ist ein anderes Werk.
+2. **Allouche** — Resultat war zu grob *und* `docs/08` hatte die falsche Fundstelle (*J. Number Theory* 12, 1979, 476–478). Richtig: Séminaire de Théorie des Nombres, Talence, Exp. 9, 1979. θ > ≈ 0,869 (Tao 2022; Allouche selbst: c > 0,8691).
+3. **Berg/Meinardus 1994 ≠ RPF** — Funktionsgleichungen / erzeugende Funktionen; Transferoperator ist spätere Lesart.
+4. **Nachbarn „Stand 2026“** — abgeschwächt: Goldbach 4×10^18 und Riemann Platt–Trudgian 2021 sind 2026 noch die begutachtete Front. Nur OPN 2012 ist als *gedruckte* Schranke eingefroren (Autoren-Seite später höher, ungedruckt). Kap. 11-Zahlen unangetastet.
+5. **Fermat „um 1630“** — MacTutor-Wortlaut; üblich ca. 1637; Datum unsicher. Jetzt: „in den 1630er Jahren“.
+6. **Keine Vollbibliografie** — kein Fehler (Anhang B by design).
+
+## Phantomquellen
+
+Keine. Die JNT-Zeile zu Allouche war eine **falsche Fundstelle**, kein erfundenes Paper.
+
+## Gepatcht
+
+| Ort | Änderung |
+|---|---|
+| `docs/08` | Allouche = Talence 1979 + θ; Growney 2011; Berg-Blurb; Fermat-MacTutor-Notiz |
+| `docs/01`, `02`, `03`, `06`, `09`, `10` | Links und Wortlaut nachgezogen |
+| Kap. 5, 7, Anhang B | Allouche 0,869 |
+| Kap. 8 | Berg/Meinardus ohne RPF-Zuschreibung |
+| Kap. 10 | Fermat 1630er |
+| Kap. 13, Anhang B | Growney 2011 |
+
+Nicht falsch (unangetastet): Tao vs. Terras Dichte; Barina 2^71; Hercher m ≤ 91 = Täler; Conway trifft die Familie; STOC 2026 für BB(5); Zahlenbeispiele 27.