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Anhang B · Kommentierte Literatur

Dieses Buch zitiert Stimmen, keine Links. Hier stehen die, auf die es sich stützt — kurz kommentiert, damit du weißt, warum sie zählen und wo sie aufhören. Es ist keine vollständige Bibliografie und keine Pflichtlektüre. Eine Karte, kein Lehrplan.

Zwei Sorten von Einträgen: Forschung und Erzählung. Die zweite Sorte popularisiert. Sie beweist nichts. Wo ein Video eine Prüfgrenze nennt, kann sie vom heutigen Stand abweichen.

Die Vermutung ist unbewiesen. Nichts in dieser Liste ändert das.

Der Einstieg

Wer das Feld zum ersten Mal von innen sehen will, beginnt nicht bei einem Video.

Lagarias 1985. Jeffrey Lagarias’ Übersichtsarbeit in der American Mathematical Monthly ist bis heute der Standardeinstieg: Geschichte, Folklore, Teilergebnisse, wiederkehrende Fehlversuche. Dieses Buch verdankt ihr den Überblick — und die Warnung, dass das Problem eine Kultur hat, falsche Beweise hervorzubringen.

Lagarias 2010. Der Forschungsband The Ultimate Challenge bündelt den Stand der 2000er Jahre. Darin steht auch, dass Gardners Kolumne dem Problem „wide publicity“ verschaffte, und dass keines der vier 3x+1-artigen Probleme aus Guys Beitrag von 1983 gelöst ist.

Zwei bibliografische Fortsetzungen kartieren die Versuchsliteratur selbst: Lagarias 2003 (1963–1999) und Lagarias 2006 (2000–2009). Kapitel 9 stützt sich auf die ältere, wenn es den häufigsten Fehlschluss benennt: von „dünn“ auf „leer“ zu schließen.

Die ersten Sätze — fast alle, nicht alle

Diese Arbeiten beweisen etwas Echtes — und lassen die Vermutung offen. „Fast alle“ heißt nicht „alle“.

Terras 1976. Riho Terras bewies: Fast alle Startzahlen haben eine endliche Stoppzeit — ihre Bahn fällt irgendwann unter den Startwert. Das Maß ist die natürliche Dichte: Zählt man die Zahlen bis zu einer Grenze nach, schrumpft der Anteil der Ausnahmen gegen null. Unter den Startwert fallen ist nicht bei 1 ankommen.

Everett 1977. C. J. Everett bewies dasselbe Ergebnis unabhängig. Zwei Vermesser, eine Linie.

Allouche 1979. Jean-Paul Allouche schärfte die Zählmethode: Fast alle Bahnen tauchen nicht nur unter den Startwert, sondern unter eine feste Marke darunter — unter n hoch θ, für jedes feste θ größer als rund 0,869. Die Pointe ist die Richtung: Die Marke wanderte nach unten.

Korec 1994. Ivan Korec drückte die Marke auf n^0,7925^ — die schärfste Stufe, die dieses Zählverfahren hergab. Stark genug für „fast alle“, zu schwach für „alle“.

Tao 2022. Terence Tao, Preprint 2019, gedruckt 2022: Fast alle Bahnen erreichen fast beschränkte Werte, gezählt nach logarithmischer Dichte — einem „fast alle“, das auch riesige Zahlenbereiche noch zusammenfasst. Fast beschränkt heißt: Der Tiefpunkt der Bahn liegt unter jeder Schranke, die mit der Startzahl wächst, egal wie langsam. Das ist nicht die Landung bei 1. Und es ist nicht „alle“.

Kreise: die Leiter der Täler

Ein m-Zyklus ist eine geschlossene Bahn mit m Tälern — lokalen Minima, Stellen, an denen die Bahn nach einem Abstieg wieder nach oben knickt. Die Leiter ist mühsam, weil die Abschätzungen mit jedem zusätzlichen Tal schwächer werden. Sie führt von einem Tal über 2 und 68 nach 91.

Steiner 1977. Kein nichttrivialer Kreis mit genau einem Tal. Erstes schweres Geschütz: die Baker-Theorie, die abschätzt, wie nahe sich Zweier- und Dreierpotenzen kommen können.

Simons und de Weger 2005. Die Schranke sinkt auf 68 Täler.

Hercher 2023. Weiter auf 91. Kein nichttrivialer m-Zyklus mit m ≤ 91. Kombiniert mit der Rechengrenze: Jeder andere Kreis müsste mehr als 91 Täler haben und sein kleinster Wert läge über 2^71^.

Rechenstand — Beobachtung, kein Beweis

Barina 2020. David Barinas verteiltes Projekt verifizierte alle Startzahlen bis 2^68^. Das ist der Stand, den populäre Videos von 2021 noch nennen.

Barina 2025. Die Grenze liegt bei 2^71^ — Stand 2025/26, eine Zahl mit 22 Stellen. Systematisch, lückenlos, ohne Stichprobe. Darüber hinaus nur Einzelfälle. Beeindruckend, und kein Beweis: Geprüft ist ein Anfangsstück der Zahlengeraden.

Roosendaal. Eric Roosendaals Datenbank sammelt Rekord-Bahnen: besonders lange Wege bis zur 1, besonders hohe Gipfel. Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) übernimmt die Rekordlisten von dort; sie ist keine zweite, unabhängige Messung.

Die Familie, nicht die Regel

Diese Sätze treffen verallgemeinerte Collatz-Regeln — je Restfall eine eigene Vorschrift. Die klassische 3n+1-Regel ist davon nicht entschieden.

Conway 1972. John Conway bewies: Die Familie kann rechnen wie ein Computer, und kein Verfahren entscheidet für jede solche Regel, ob alle Bahnen bei 1 landen. Unentscheidbarkeit der Familie, nicht der einzelnen Vermutung.

Conway 1987. FRACTRAN destilliert dieselbe Mechanik in eine Mini-Programmiersprache: ein Programm ist eine geordnete Liste von Brüchen. Turing-vollständig — jede Rechnung lässt sich darin ausführen. Das Vorzeigeprogramm heißt PRIMEGAME.

Kurtz und Simon 2007. Eine natürliche Verallgemeinerung, die der klassischen Regel sehr nahe kommt, ist schon unentscheidbar: Ob bei so einer Regel alle Bahnen konvergieren, ist so schwer wie die Frage, ob ein Programm für jede Eingabe irgendwann endet.

Wenn ein Beweis bricht

Opfer 2011. Gerhard Opfer, Universität Hamburg, veröffentlichte ein Preprint mit Substanz: Bahnen in einem Baum, kombiniert mit einer Überdeckungs-Aussage. Die Überdeckung war unvollständig. Opfer nahm die Beweisbehauptung selbst zurück.

de Weger 2011. B. M. M. de Weger dokumentierte die Bruchstelle unabhängig und präzise. Kein Skandal: ein seriöser Ansatz, prüfbare Behauptungen, ein klares Ende. Kapitel 9 erzählt die Fallstudie deshalb als Kompliment.

Nachbarn — dieselbe Straße, andere Gärten

Diese Quellen gehören zu den offenen Nachbarn aus Kapitel 11, nicht zu den gelösten Riesen aus Kapitel 10. Stand 2026, soweit das Buch sie braucht.

Oliveira e Silva 2014. Goldbach: jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen — geprüft bis 4 × 10^18^, unbewiesen. Dieselbe Logik wie Collatz: Verifikation ist Beobachtung.

Zhang 2013; Maynard 2015; Polymath8b 2014. Primzahlzwillinge: unendlich viele Paare im Abstand 2 — offen. Bewiesen ist eine Leiter von oben: Paare im Abstand höchstens 70.000.000, dann 600, dann 246. Die 246 ist Stand 2026 die beste unbedingte Schranke.

Platt und Trudgian 2021. Riemannsche Vermutung: alle nichttrivialen Zeta-Nullstellen bis zur Höhe 3.000.175.332.800 liegen auf der kritischen Linie — die untersten rund 12,4 Billionen. Front, kein Beweis.

Ochem und Rao 2012. Ungerade vollkommene Zahlen: keine bekannt. Falls eine existiert, ist sie größer als 10^1500^, hat mindestens 101 Primfaktoren (mit Vielfachheit) und ihr größter Primzahl-Potenz-Baustein übersteigt 10^62^.

Radó 1962. Busy Beaver: Es gibt keinen Algorithmus, der S(n) für alle n berechnet. Hier ist Unentscheidbarkeit ein Satz über die Funktion selbst — anders als bei Collatz, wo sie bisher nur die Familie trifft.

bbchallenge 2024. S(5) = 47.176.870, bestimmt 2024, formal verifiziert in Coq, publiziert auf der STOC 2026. S(6) ist offen.

Herkunft, Warnung, Popularisierung

Diese Stimmen tragen die Kultur, nicht den Beweisstand.

Coxeter 1971. H. S. M. Coxeter nannte das Problem 1970 „mathematical gossip“ und setzte 50 Dollar aus. Die gedruckte Fassung gilt nach Lagarias (2010) als die früheste veröffentlichte Arbeit, die 3x+1 ausdrücklich formuliert.

Collatz 1986. Lothar Collatz’ einziger Aufsatz zum Problem — chinesisch, nach einem Vortrag; englische Übersetzung in Lagarias 2010. Die Priorität trägt ein Brief vom 17. September 1980.

Gardner 1972. Martin Gardners Kolumne Mathematical Games im Scientific American (Juni 1972) gab dem Problem die breite Öffentlichkeit. Popularisierung im besten Sinn: Wer einen Stift hatte, konnte mitrechnen. Kein Forschungsstand.

Guy 1983. Richard Guys Beitrag „Don't try to solve these problems!“ — vier 3x+1-artige Probleme. Keines ist gelöst (Lagarias 2010).

Quanta Magazine 2019. Kevin Hartnett zitiert Lagarias: „This is a really dangerous problem. People become obsessed with it and it really is impossible.“ Eine Warnung, kein Unentscheidbarkeits-Satz.

Harper's Magazine 2025. Joe Kloc: Lagarias zu Alex Kontorovich — „Don't fall into that trap.“ Kontorovich ließ sich nicht warnen.

Growney 2011. JoAnne Growneys Gedicht A Mathematician's Nightmare, belegt 2011: ein Laden, dessen Preise der Shortcut-Regel folgen — ungerade mal drei, plus eins, sofort halbiert, das zählt als ein Schritt. Der Spiegel kostet 27 Dollar. Die Uhr im Gedicht ist diese Kurzform, nicht die klassische, in der jedes Halbieren extra zählt. Kapitel 13 rechnet beide nach.

xkcd 710. Randall Munroe: „…you repeat this procedure long enough, eventually your friends will stop calling to see if you want to hang out.“ Kapitel 0 zitiert die Caption vollständig.

xkcd 356. Dieselbe Hand, anderes Thema: Nerd Sniping — ein Gehirn, das an einer verlockenden Aufgabe hängen bleibt. Kein Collatz-Comic; das Wort trifft die Kultur.

Veritasium 2021. Derek Muller, The Simplest Math Problem No One Can Solve. Das Referenzvideo der 2020er: Regel, 7 und 27, Hagelkörner, Korallenbaum. Es nennt die damalige Rechengrenze 2^68^ — 2021 korrekt, heute 2^71^. Erzählstoff, keine Forschungsquelle.

Numberphile (Eisenbud). David Eisenbud, UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture. Ein populärer Einstieg mit Baum-Bild. Dieselbe Warnung: Popularisierung, kein Stand der Forschung.

Wer mit einem Video anfängt, darf das. Wer Zahlen daraus übernimmt, prüft sie gegen die Sätze und den Rechenstand oben. Ungelöst bleibt ungelöst.